Nichtverstehen eines Blattes

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30.01.2005, 01:14

blondi

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Nichtverstehen eines Blattes

Hi Leute!

Ich checke ausnahmsweise ( Big Laugh

) mal was nicht!

http://www.beepworld.de/memberdateien/members28/blondi-1987/mathematik2.jpg

Wir sollen uns das Blatt selber durchlesen zu Hause. Was soll die Tabelle? Kann mir die einer erklären?

Ach ja und was soll in der Tabelle die Formel mit diesem komischen E? Die hatten wir noch nicht. Kann mir die einer erklären und sagen was da für was steht?

tschö
blondi
Wink

30.01.2005, 01:24

Ben Sisko

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Das "E" ist ein grosses Sigma und steht für eine Summe. Bei jedem Summanden setzt man für i eine Zahl ein und zwar von der unteren Grenze bis zur oberen. Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^5~i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 \end{eqnarray*}$

Alles klar?

Was genau verstehst du ansonsten nicht?

Gruß vom Ben

30.01.2005, 01:25

Seimon

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RE: Nichtverstehen eines Blattes
Die Tabelle zeigt die oben angeführten Funktionen f und g für bestimmte x ausgewertet!

das "komische" e ist ein großes Sigma und steht für Summe!

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^2~k \end{eqnarray*}$ ist zum Beispiel eine Umschreibung von 1+2

also unten bei dem $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ steht die laufvariable und der startwert oben der endwert!
und alle einzelnen werte von Startwert bis endwert eingesetzt werden summiert!

30.01.2005, 01:30

blondi

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ah, danke!
und wie wurden die minuten-zeiten ausgerechnet?

30.01.2005, 01:37

Seimon

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minuten-zeiten?

falls du das "Min" meinst, das sind die Minima der 2 Funktionen also die jeweils kleinsten Werte

30.01.2005, 01:39

blondi

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ouuuuuu ich dacht schon woher haben die die minuten Big Laugh

30.01.2005, 01:40

blondi

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ähm kann mir das einer vielleicht mal vorrechnen wie man da auf 25 beim 1. kommt

30.01.2005, 01:45

Seimon

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setz einfach in g(x) x=0 ein!

das in der Titelzeile von der Tabelle ist genau die selbe Funktion g(x) wie im Text drüber!
Nur eben mit $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ angeschrieben

30.01.2005, 03:04

Tobias

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Gegeben:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = 4, x_4 = 7, x_5 = 12 \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich die Summe mit dem Sigma-Zeichen für dich leichter verständlich formulieren, indem man sie ausschreibt:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sum_{i=1}^{5}|x_i - x| = |0 - x| + |2 - x| + |4 - x| +|7 - x| + |12 - x| \end{eqnarray*}$

Man übersetzt also die Summe:

Setze i=1 und ersetze im Term neben dem Sigma das i durch eine 1:
$\begin{eqnarray*} |x_i - x| \to |x_1 - x| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ist aber angegeben als 0. Also: $\begin{eqnarray*} |0 - x| \end{eqnarray*}$

Jetzt setze i=2 und addiere den term auf den vorherigen:
$\begin{eqnarray*} |x_i - x| \to |x_2 - x| \to |2 - x| \end{eqnarray*}$

Usw. bis du schließlich bei i=5 aufhören kannst.

Eine Funktion in x auszurechnen sollte nun kein Problem mehr sein:

$\begin{eqnarray*} g(0) = |0 - 0| + |2 - 0| + |4 - 0| + |7 - 0| + |12 - 0| = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(1) = |0 - 1| + |2 - 1| + |4 - 1| + |7 - 1| + |12 - 1| = 22 \end{eqnarray*}$
usw.

30.01.2005, 14:41

blondi

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wieso nimmt man einmal nur |x-0| und einmal alles mit quadrat???

was ist denn dann richtig? dass das minimum bei 4 oder bei 5 liegt oder dazwischen?

und dann dazu ne fragen:
"zwischen den markierten punkten ist der graph von g tatsächlich linear: Bewegt man sich von x1=0 aus um a km nach rechts, d.h. nimmt der Abstand zum Signal bei x1 um a zu, dann nehmen die Abstände zu den Signalen bei x2, x3, x4, x5 jeweils um a ab; die Summe der Abstände nimmt dann um 3a ab, d.h. die Steigung des Graphen beträgt m = -3...."

Hä????? Kann mir einer das mitm Beispiel veranschaulichen???

30.01.2005, 15:35

Ben Sisko

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Zitat:

Original von blondi
[B]wieso nimmt man einmal nur |x-0| und einmal alles mit quadrat???

Das sind zwei verschiedene Aufgaben!

30.01.2005, 15:47

blondi

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aaaaaach so

und wer erklärt mir das:

"zwischen den markierten punkten ist der graph von g tatsächlich linear: Bewegt man sich von x1=0 aus um a km nach rechts, d.h. nimmt der Abstand zum Signal bei x1 um a zu, dann nehmen die Abstände zu den Signalen bei x2, x3, x4, x5 jeweils um a ab; die Summe der Abstände nimmt dann um 3a ab, d.h. die Steigung des Graphen beträgt m = -3...."

30.01.2005, 15:57

Tobias

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Stell dir den Verteilerkasten als ein Strich auf der Zahlengerade vor. Die Meilensteine befinden sich jetzt zum Teil links neben dem Verteilerkasten und zum Teil rechts.

Die Summe der Abstände der Meilensteine zum Kasten ist maßgeblich für die Kosten, die du aufbringen musst.

Jetzt schiebe den Signalkasten um ein paar Einheiten nach rechts. Man sieht sofort, dass sich der Abstand von allen Meilensteinen, die links vom Kasten liegen erhöht hat. Der Verteilerkasten rückt allerdings im Gegenzug allen Meilensteinen näher, die rechts von ihm liegen. Sie entfernen bzw. nähern sich um exakt dasselbe Maß, wie du den Kasten verschoben hast.

Liegt der Kasten zwischen den Meilensteinen 1 und 2 und du schiebst ihn um a Einheiten nach rechts, dann entfernt er sich um a Einheiten von Meilenstein 1. Er nähert sich aber jeweils um a Einheiten den Meilensteinen 2, 3, 4 und 5.
Für die Gesamtstrecke bedeutet dies eine Verbesserung um 3a, denn -a + a + a + a + a = 3a.

Zwischen zwei Meilensteinen wird die Gesamtlänge der Kabel also immer durch eine lineare Funktion (Gerade) beschrieben.

30.01.2005, 17:41

blondi

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http://www.beepworld.de/memberdateien/members28/blondi-1987/mathe_2seite.jpg

ok danke

2. Seite...

oben bei (2) wie kommt man da auf die Umformung

f(x) = (0-x)² + ...

= 5x² - 50x + 213 ?????

30.01.2005, 17:46

Seimon

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alle 5 Terme ausquadrieren, dann zusammenfassen

30.01.2005, 17:48

blondi

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ähm und wie geht das schrittweise?

30.01.2005, 17:50

Seimon

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$\begin{eqnarray*} (a-x)^2 = was? \end{eqnarray*}$

30.01.2005, 17:57

blondi

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a² - x²

30.01.2005, 18:02

Seimon

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$\begin{eqnarray*} (a-x)^2=(a-x)\cdot (a-x) \end{eqnarray*}$

multiplizier die 2 Klammern mal aus!

30.01.2005, 18:07

blondi

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ähm a² - 2ax + x²

oder?

30.01.2005, 18:11

Seimon

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genau! und das musst du oben 5 mal machen und dann alles zusammenfassen!

30.01.2005, 20:38

blondi

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Ok danke.

Und dann noch ne Frage:

Wofür steht immer n?

Und wer kann mir diese schwere Gleichung schrittweise erklären?

http://www.beepworld.de/memberdateien/members28/blondi-1987/hilfe.jpg

30.01.2005, 21:05

Tobias

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n steht für die Anzahl der Werte (z.B. Signalstellen), die du gegeben hast.

Die Formelumformung geht schrittweise so vor:

Zuerst für jeden Summanden die binomische Formel anwenden:

$\begin{eqnarray*} (x_1^2 - 2xx_1 + x^2) + (x_2^2 - 2xx_2 + x^2) + ... + (x_n^2 - 2xx_n + x^2) \end{eqnarray*}$

Jetzt sortieren wir die Summanden nach $\begin{eqnarray*} x_i^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2xx_i \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) - (2xx_1 + 2xx_2 + ... + 2xx_n) + (x^2 + x^2 + ... + x^2) \end{eqnarray*}$

Die n Summanden $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ kann man zusammenfassen zu $\begin{eqnarray*} nx^2 \end{eqnarray*}$ . Im mittleren Teil kann man 2x ausklammern:
$\begin{eqnarray*} (2xx_1 + 2xx_2 + ... + 2xx_n) = 2x(x_1 + x_2 + ... + x_n) \end{eqnarray*}$

Insgesamt also:

$\begin{eqnarray*} (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) - 2x(x_1 + x_2 + ... + x_n) + nx^2 \end{eqnarray*}$

Die Summe über allen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ist genau dasselbe wie n-mal der Durchschnitt:
$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + ... + x_n = n\overline{x} \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} nx^2 - 2x(n\overline{x}) \end{eqnarray*}$ machen wir mit quadratischer Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} nx^2 - 2nx\overline{x} = n(x^2 - 2x\overline{x}) =n(x^2 - 2x\overline{x} + \overline{x}^2 - \overline{x}^2) = n(x - \overline{x})^2 - n\overline{x}^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt sind wir bei:

$\begin{eqnarray*} (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) + n(x - \overline{x})^2 - n\overline{x}^2 \end{eqnarray*}$

Der Term $\begin{eqnarray*} (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) - n\overline{x}^2 \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes als die quadr. Abweichung.

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