Kugelkoordinaten

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Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelkoordinaten
Hallo zusammen,

habe eine ziemlich knifflige Aufgabe zulösen:


Berechnen Sie das Integral


mittels Kugelkoordinaten.

Also die Umrechnung zu den Kugelkoordinaten kann ich noch :




Hab ich mal irgendwo gelesen. Aber das bringt mir eigentlich nichts.
Habe auch keine Ahnung wie ich auf die Grenzen derIntegrale komme.

Könnt ihr mir helfen??

Liebe Grüße
cst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugelkoordinaten
Hi,

ist die Gleichung einer Kugel mit dem Radius R und mit (0; 0; 0) als Mittelpunkt. Mit der zusätzlichen Einschränkung wird's halt eine Halbkugel (die Hälfte unterhalb der x-y-Ebene). Kommst du damit erstmal klar?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal ist einfach , das kannst du also einfach ersetzen. Dann kommt nach dem Transformationssatz noch zum Integranden dazu.

Als nächstes solltest du dir darüber klar werden, was für ein Gebiet G ist: Da gleich dem Quadrat des Abstands vom Ursprung ist, beschreibt die erste Bedingung also eine Kugelschale, eine die von 1 bis geht. Die zweite Bedingung zeigt, dass es sich um die untere Hälfte der Kugel handelt. (Wegen der Symmetrie könnte man natürlich auch ... lassen wir das.)

Von wo bis wo muss also dein r gehen, von wo bis wo die beiden Winkel?
cst Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Dann kommt nach dem Transformationssatz noch zum Integranden dazu.


Du meinst sicher .
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Äh, ja. Entschuldigung.
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm bei einer halbkugel würde ich sagen von 0 bis pi und 0 bis 2pi
also die winkel

und r dann von wurzel 1 bis wurzel 3
 
 
cst Auf diesen Beitrag antworten »

So würde es die komplette Kugelschale. ist ja der Winkel mit der positiven z-Achse. Deshalb muss nur von bis laufen.
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

würde auch 0 bis pi/2 gehen??
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgrund der Symmetrie des Gebiets und des Integranden, ja. Im Allgemeinen nicht.
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre dann meine vorläufige lösung:



aber wenn das stimmen sollte .. ich habe keine ahnung wie ich das monster integrieren könnte :-(
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Dann lies mein erstes Posting in diesem Thread noch einmal.
Eva24 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh du hast recht das habe ich übersehen:



dann nach integrieren



das jetzt nach r,da kommt bei mir das raus:



wenn ich das jetzt durchrechne habich am ende dann einnegatives Ergebnis in der Größenordnung :

Kann das sein???

Grüße
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ergebnis stimmt (genau ist es ), allerdings frage ich mich, wo bei dir ganz am Anfang das Minus herkommt. Schlimm ist es natürlich aufgrund der Linearität des Integrals nicht, du musst nur am Ende auch wieder das Vorzeichen umdrehen.
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