Wurzel bzw. Quotientenkriterium

30.01.2005, 13:49

Bier17

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Wurzel bzw. Quotientenkriterium

Also es geht darum ob die Reihe 1/nkonvergiert (nein) und um die Reihe 1/n^2 (keine Ahnung)

$\begin{eqnarray*} \mid a_{n+1}/a_n \mid\leq q\ \Rightarrow \mid 1/n+1/1/n \mid=\mid n/n+1\mid \end{eqnarray*}$
Also das ist nict konvergent, da man kein q kleiner 1 findet, welches für alle n größer gleich dem Ausdruck ist. Oder darf man das erst sagen nach dem man das Wurzelkriterium ebenfalls versucht hat?
(wie gehn eigentlich Bruchstriche, und Kleiner- bzw. Größerzeichen?)

So jetzt für 1/n^2

$\begin{eqnarray*} \mid a_{n+1}/a_n \mid\leq q\ \Rightarrow \mid 1/(n+1)^2/1/n^2 \mid=\mid n^2/(n+1)^2\mid \end{eqnarray*}$

so jetzt hat man den Ausdruck n^2/n^2+2n+1 der Ausdruck konvergiert also ebenfalls gegen 1. Ist diese Reihe also auch nicht konvergent ??? Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

30.01.2005, 14:59

JochenX

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verwende für brüche den latecode "\frac{zähler}{nenner}", dann wird das viel übersichtlicher. ansonsten auserichend klammern setzen unglücklich

unglücklich

die reihe über 1/n² ist konvergent. viel mehr kann ich grad zu deinem ansatz nicht sagen, da ich das zu unübersichtlich finde so...

mfg jochen

30.01.2005, 16:31

BraiNFrosT

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RE: Wurzel bzw. Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Bier17
konvergiert also ebenfalls gegen 1.

Dafür kann man keine Aussage machen. Die Reihe kann
sowohl konvergieren als auch divergieren. Du musst dann
ein anderes Kriterium zu Rate ziehen.

Das die Reihe über 1/n divergiert hast du also noch nicht gezeigt.

30.01.2005, 20:21

Bier17

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ok. Kann man also mit dem Quotientenkriterium nur eventuell nachweisen, dass eine Reihe konvergent ist? Oder kann man auch nachweisen, dass sie divergent ist, wenn $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid\ \end{eqnarray*}$ strikt größer 1 ist?

für 1/n erhält man ja:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{{n}}{n+1}\mid\ \end{eqnarray*}$

und für 1/n^2 erhält man:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{{n^2}}{(n+1)^2}\mid\ \end{eqnarray*}$

daraus erkennt man wieder nichts, oder?

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\mid \frac{1}{n^2} \mid} \end{eqnarray*}$

Wie erkennt man nun daraus die Konvergenz?

nochmal zu 1/n

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\mid \frac{1}{n} \mid} \end{eqnarray*}$

wie erkennt man hier divergenz?

30.01.2005, 20:26

JochenX

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mit diesen kriterien kommt man hier gar nicht weiter.....
hast dus eventuell schon mal mit minoranten/majorantenkriterium versucht?
wenn ich mich aber recht entsinne war die divergenz der reihe über 1/n sehr schwer zu zeigen..... zumal diese reihe nur "gaaanz langsam" bestimmt divergiert.....
zur not suche ich mal meinen alten vorlesungsmitschrieb raus (ohjemine, wo ist der verwirrt

verwirrt

)

mfg jochen

30.01.2005, 22:19

Mathespezialschüler

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Der Beweis is eigentlich nich so schwer verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k}=1+\sum_{n=0}^\infty~\sum_{k=1}^{2^n}~\frac{1}{2^n+k}>\sum_{n=0}^\infty~\sum_{k=1}^{2^n}~\frac{1}{2^{n+1}}=\sum_{n=1}^\infty~2^n\cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

oder ohne Summenzeichen:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+...>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+... \end{eqnarray*}$

also ist die Summe unbeschränkt.

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30.01.2005, 22:32

JochenX

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ja stimmt, MMS, das habe ich auch schon mal gesehen..... ist dann so doch ganz einfach zu verstehen.....
habe ich das jetzt verwechselt?! verwirrt

verwirrt

danke für den hinweis!

30.01.2005, 22:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von LOED
ja stimmt, MMS

MSS bitte

Augenzwinkern

PS: Vielleicht meintest du ja den Beweis, dass $\begin{eqnarray*} \sum~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

30.01.2005, 22:41

JochenX

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MatheMegaSpezialist Augenzwinkern

Augenzwinkern

freudscher versprecher

31.01.2005, 16:07

Bier17

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Was wird nun aus 1/n^2 ?

31.01.2005, 16:41

AD

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$\begin{eqnarray*} 0<\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1 \end{eqnarray*}$

31.01.2005, 22:23

Bier

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} 0<\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1 \end{eqnarray*}$

Ich verstehs bis auf den letzten Schritt. Warum ist der Ausdruck gleich 1? Ich mein was ich einsehe ist, dass sich bei der Summe die Summanden wieder rauskürzen, also:

1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....-1/n

ok hat sich erledigt :-)

Irgendwie hab ich das Gefühl, dass Wurzel- und Quotientenkriterium gar nichts taugen.... Könnt ihr mal Reihen reinschreiben, die man damit in den Griff kriegt?

01.02.2005, 10:50

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
mal als ganz einfaches beispiel.

sagt dir der begriff "potenzreihe" etwas? dafür wirst du diese kriterien öfters brauchen.....

01.02.2005, 16:22

Bier17

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Zitat:

Original von LOED
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
mal als ganz einfaches beispiel.

sagt dir der begriff "potenzreihe" etwas? dafür wirst du diese kriterien öfters brauchen.....

Potenzreihe sollte mir was sagen, bin aber noch nicht soweit. Hab mich ne ganze Weile nur um Laag gekümmert und häng jetzt in Ana hinterher :-(

Aber für dein Beispiel bietet sich das Quotientenkriterium an.
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{k!}{(k+1)!}\mid=\mid \frac{k!}{(k+1)*k!}\mid=\mid \frac{1}{(k+1)}\mid \end{eqnarray*}$

und das ist kleiner als q=1/2 für alle k größer 1.

Kann man mit diesen Kriterien eigentlich nur nachweisen, dass etwas konvergiert, oder kann man auch Divergenz nachweisen?

01.02.2005, 16:29

JochenX

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damit kann man (prinzipiell) auch divergenz zeigen:
ersetze das 1/k! durch k! und rechne genauso.....
dann kannst du entsprechend die divegenz nachweisen (limsup >1).....
du musst also für divergenz immer zeigen: limsup(....)>1, aber natürlich ist das dann viel einfacher zu zeigen, da es offenbar keine nullfolge ist.... (vgl. auch mein beispiel hier)

wie schon gesagt, bei potenzreihen werden das wurzel- und quotientenkriterium sehr wichtig werden.....

mfg jochen

Zitat:

Hab mich ne ganze Weile nur um Laag gekümmert und häng jetzt in Ana hinterher :-(

wem sagst du das, das kenne ich nur allzu gut fröhlich

fröhlich

01.02.2005, 17:40

Mathematiker84

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Die Reihe 1/n² müsste man auch leicht mit dem Verdichtungskriterium nachweisen können, wenn ich mich nicht vertue.

Gruß,
Mathematiker

01.02.2005, 22:18

Bier17

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Noch ein paar Fragen:

1. Zu Bernoulli

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang klappt. Ok. Weiter. Unter der Annahme, dass es für n stimmt zeig ich nun, dass es für n+1 stimmt.
Darf man das so machen wie ich es jetzt mach? Oder darf man die folgende Gleichung erst hinschreiben wenn man es bewiesen hat?

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \Leftrightarrow (1+x)^n*(1+x)\geq 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$

nun setz ich die Induktionsannahme ein:

$\begin{eqnarray*} (1+nx)*(1+x)\geq 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$

Ok und wenn man das ausmultipliziert kommt raus, dass die linke Seite größer ist.

Darf man das also so machen? Ich denke schon aber, aber der Beweis wurde mir vor grauer Urzeit als falsch angerechnet, und in meinem Buch wird die Ungleichung auch anders bewiesen....

01.02.2005, 22:50

AD

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Wenn man dir Punkte abzieht, dann weil aus deinen Ausführungen nicht zweifelsfrei die logisch richtige Argumentationsreihenfolge hervorgeht, die zu dem Induktionsbeweis gehört. Also ordne deine Gedanken, und schreibe sie dann logisch richtig auf!

02.02.2005, 09:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bier17
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$

Was du geschrieben hast, ist sozusagen das Ziel, das im Induktionsschritt erreicht werden soll. Typischerweise nimmt man sich eine Seite der Ungleichung und formt diese mit der Induktionsannahme um. Also:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} = (1+x)^n \cdot (1+x) \geq (1+nx) \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$
Den Rest darfst du weiterrechnen. Irgendwann muß auf der rechten Seite der Ausdruck 1+(n+1)*x stehen.

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