Beweis für det(A) Produkt der Eigenwerte |
| 05.07.2007, 11:23 | Duff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis für det(A) Produkt der Eigenwerte Ich lese zwar überall, dass die Determinante von A gleich der Summe der Eigenwerte ist, jedoch finde ich dazu keinen Beweis. Hat da zufällig jemand einen Link zur Hand? mfg Modedit: Da die Summe ein Schreibfehler war, nehm' ich das mal aus dem Titel. |
||||
| 05.07.2007, 11:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Beweis für det(A) Summe der Eigenwerte Ich wüßte nicht, daß das gilt, was man auch leicht an der Einheitsmatrix erkennen kann. 
|
||||
| 05.07.2007, 11:40 | swerbe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
...probier' es mal lieber mit dem PRODUKT der EW:
|
||||
| 05.07.2007, 11:48 | Chris2005 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
um das zu zeigen, würd ich mal ähnliche matrizen betrachten (zeig dass ähnliche matrizen die gleichen eigenwerte besitzen, und auch, dass sie dieselbe determinante haben) mfg chris |
||||
| 05.07.2007, 11:51 | Duff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau. Ich habe mich leider verschrieben. Auch habe ich mittlerweile das gewünschte Ergebnis. Allerdings ergibt sich mir noch eine Frage: Warum haben ähnlich Matrizen dieselben Eigenwerte?? |
||||
| 05.07.2007, 11:57 | Chris2005 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gilt ja: det(A - x*In) = charakteristisches polynom, Nullstellen sind Eigenwerte zu A sei B die zu A ähnliche Matrix, als B = P^-1 * A * P Dann gilt det(B - x*In) = det(P^-1*A*P - x*In) =det(P^-1*(A - x*In) * P) = det(P^-1) * det(A - x*In) * det(P) = det(A - x*In) qed //EDIT: vor ca. einer woche algebra klausur darüber geschrieben, sonst wüsst ich so was auch nicht.... |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 05.07.2007, 12:01 | Duff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, dank dir. Nur eine blöde Frage habe ich noch: Was meinst du mit "In"? Inverse von A? |
||||
| 05.07.2007, 13:20 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum sollte das gelten? Damit ist die Einheitsmatrix gemeint ( oder ). Gruß, therisen |
||||
| 05.07.2007, 19:07 | Chris2005 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum sollte das nicht gelten? In ist in der tat die einheitsmatrix, das schon.... aber wenn ich P^-1 * P rechne für eine invertierbare matrix P kommt eben In raus.... mfg chris |
||||
| 05.07.2007, 19:09 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast natürlich Recht. Der Beitrag ist in Eile in der Uni entstanden... |
||||
| 06.07.2007, 11:08 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Muss die Matrix nicht erst einmal trigonalisierbar sein, damit die angesprochene Identität gilt? |
||||
| 06.07.2007, 11:30 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schreibe es nochmal ausführlich und mit LaTeX auf: Es gilt nach Voraussetzung. Dann ist , denn . Gruß, therisen |
||||
| 06.07.2007, 20:18 | Chris2005 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
andere Frage: gilt dieser Zusammenhang (Determinante = Produkt der Eigenwerte) eigentlich immer, oder nur dann, wenn A diagonalisierbar ist? mfg chris |
||||
| 06.07.2007, 20:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gilt nur wenn das Charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. |
||||
| 06.07.2007, 21:08 | Chris2005 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was ja äquivalent dazu ist, das die matrix diagonialisierbar ist... unser prof hat uns mal erzählt, dass ein gutes CAS für die berechnung der determinante die eigenwerte berechnet, und diese aufmultipliziert! gibts da noch andere brauchbare verfahren? hab nämlich unlängst eine L-R Zerlegung in Matlab implementiert, wo ich auch einfach die diagonalelemente multipliziere, und dieses ist nicht sehr genau seltsamerweise..... mfg chris |
||||
| 06.07.2007, 21:13 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein das ist falsch, zumindest nicht äquivalent. char. Poly zerfällt in Linearfaktoren A ist trigonalisierbar char. Poly zerfällt in Linearfaktoren A ist diagonalisierbar Die Frage ist dann wohl, ob das gute CAS Programm die determinante über LR-Zerlegung berechnet. Schau zum Bsp. mal nach dem QR Verfahren. |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
