Vektorraum

30.01.2005, 20:06	Ledro	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Hallo, es soll untersucht werden, ob folgende Vektoren des R^3 $\begin{eqnarray} v_1:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, v_2:=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_3:=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}, v_4:=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) linear unabhängig sind b) ein Erzeugendensystem von R^3 bilden c) eine Basis von R^3 bilden. so würde ich vorgehen: a) wegen dimR^3=3 sind die vier Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_3, v_4 \end{eqnarray}$ des R^3 sicher linear abhängig b) prüfen, ob $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_4 \end{eqnarray}$ und dann damit auch $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_3, v_4 \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem von R^3 ist. also: $\begin{eqnarray} x_1v_1 + x_2v_2 + x_4v_4 = 0 <=> Ax=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wegen det A=116+(-1)24+012-410-221-61(-1) = 6-8-4+6=0 ist es kein Erzeugendensystem von R^3 c) $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_3, v_4 \end{eqnarray}$ kann keine Basis von R^3 sein, weil $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_3, v_4 \end{eqnarray}$ nach a) linear abhängig sind. Wäre das so richtig? DANKE!!! Liebe Grüße, ciao Ledro
30.01.2005, 20:11	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
a) und c) sind klar.... zu b) du hast jetzt bewiesen, das {v1,v2,v4} kein erzeugendensystem ist... abe kannst du das dann auch sofort von {v1,v2,v3,v4} behaupten? vielleicht ist ja {v1,v2,v3} odr so ein EZSystem. da brauchst du eine neue idee, oder prüfst einfach umständlich alle 4 dreier-kombinationen auf deine weise nach.... mfg jochen

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