Umkehrregel

31.01.2005, 00:48

Gast

Umkehrregel

Hallo!
Ich stecke gerade bei den Regeln zur Ableitung von Funktionen fest.
Und zwar bei der Umkehrregel.

Wozu dient mir die Umkehrregel? (Wann kann ich die anwenden)
Wie wende ich die Umkehrregel an (Schrittfolge)?

Und vielleicht hat ja jemand ein kleines einfaches Beispiel dazu.

Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen.
Ciao

31.01.2005, 09:38

klarsoweit

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RE: Umkehrregel
ich vermute, du meinst folgende Regel:
die Funktion y = f(x) ist differenzierbar und hat eine Umkehrfunktion f^-1. Dann ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray*}$
Nehmen wir mal f(x) = e^x. Dann ist f^-1(y) = ln(y). Dann ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}ln(y) = \frac{d}{dy}f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{e^{ln(y)}} = \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$
Damit haben wir nun die Ableitung des nat. Logarithmus berechnet.
Du kannst das ja mal mit f(x) = x² ausprobieren.

31.01.2005, 09:39

JochenX

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schau mal bei wiki: klick

31.01.2005, 11:27

Gast

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Irgendwie steig ich da noch immer nicht durch.

Vor allen Dingen wird das in der Formelsammlung (wiki) anders beschrieben als das von "klarsoweit".

Bei mir in der Formelsammlung steht die Regel so:

f'^{-1} (y0) = 1 \over {f'(x0)}

Und was berechne ich da jetzt mit.
Berechne ich damit die Ableitung einer Funktion f(x), indem ich die Ableitung der Umkehrfunktion bilde und irgendwie in die Formel einsetze? (so steht das zumindest in der Formelsammlung wiki)

Aber nach meiner Formel würde ich sagen, dass man damit die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmt, indem man die Ableitung der Ausgangsfunktion in die Formel einsetzt.

31.01.2005, 11:57

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Gast
Berechne ich damit die Ableitung einer Funktion f(x), indem ich die Ableitung der Umkehrfunktion bilde und irgendwie in die Formel einsetze? (so steht das zumindest in der Formelsammlung wiki)

Aber nach meiner Formel würde ich sagen, dass man damit die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmt, indem man die Ableitung der Ausgangsfunktion in die Formel einsetzt.

Das ist kein Unterschied. Wenn $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Alles klar?

Gruß vom Ben

31.01.2005, 12:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gast
Vor allen Dingen wird das in der Formelsammlung (wiki) anders beschrieben als das von "klarsoweit".
Bei mir in der Formelsammlung steht die Regel so:
$\begin{eqnarray*} f'^{-1} (y0) = {1 \over f'(x0)} \end{eqnarray*}$

im Prinzip steht bei mir das gleiche. Setze y0 = y und x0 = f^-1(y) und schon da, was ich geschrieben habe.
Normalerweise berechnet man damit die Ableitung der Umkehrfunktion.

31.01.2005, 15:57

Gast

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So, aber ganz bin ich da immer noch nicht durchgestiegen.

Ich nehme jetzt also die Formel von mir aus der Formelsammlung und habe z.B. die Funktion ln(x).

Was kann ich jetzt mit der Umkehrregel bestimmen?
Die Ableitung von ln(x), die Umkehrfunktion oder die Ableitung der Umkehrfunktion???

Und was muss ich dazu in die Umkehrregel einsetzen???

31.01.2005, 16:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gast
Was kann ich jetzt mit der Umkehrregel bestimmen?
Die Ableitung von ln(x), die Umkehrfunktion oder die Ableitung der Umkehrfunktion???
Und was muss ich dazu in die Umkehrregel einsetzen???

die Ableitung der Umkehrfunktion.
Bevor man etwas irgendwo einsetzt, muß man mal aufschreiben, was für was steht. Also z.B. y = f(x) = e^x, dann ist x = ln(y) = f^-1(y)
Und das jetzt einsetzen, siehe meinen Beitrag oben.

31.01.2005, 21:17

Gast

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Ist bei deinem Beispiel jetzt die Ausgangskunktion f(x)=e^x ???

Aber wie setze ich das jetzt in die Formel ein um die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen.

Also die Umkehrfunktion ist ja f^{-1}(x) = ln(x)

Wenn ich das jetzt in die Formel einsetze, dann steht bei mir
f'^{-1} = 1/e^{x}

Aber das ist ja nicht die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1}(x) = ln(x)

Also was mache ich jetzt falsch

01.02.2005, 08:45

klarsoweit

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Also nochmal: wir haben eine Funktion y = f(x) mit zugehöriger Umkehrfunktion x = f^-1(y). Dann lautet die Umkehrregel:
$\begin{eqnarray*} {f^{-1}}'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray*}$
Jetzt muß man aufpassen, was x und y sind. Wir haben z.B. die Funktion y = f(x) = e^x = f'(x) und die Umkehrfunktion x = f^-1(y) = ln(y)
In der Umkehrregel wird die Umkehrfunktion nach y differenziert, nicht nach x. Entsprechend mußt du die Sachen einsetzen. Vor allem: Was ist f'(f^-1(y)) ?

01.02.2005, 22:53

Gast

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Also ist das

e^{ln(y)} ???

01.02.2005, 23:10

Seimon

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Ja stimmt!

Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray*}$ was?

02.02.2005, 21:01

Gast

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= 1/y