Implizite Funktion

05.07.2007, 19:42	CocaCola	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktion zeigen sie: Es gibt offene Intervalle $\begin{eqnarray} I_1,I_2 \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray}$ die den Nullpunkt enthalten und eine $\begin{eqnarray} C^{\infty} \end{eqnarray}$ funktion $\begin{eqnarray} g:I-1 \rightarrow I_2 \end{eqnarray}$ sodass gilt $\begin{eqnarray} x+sin x =\frac{1}{2}(g(x)+sing(x)) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in I_1 \end{eqnarray}$ Berechne $\begin{eqnarray} g'(0) \end{eqnarray}$ also mein ansatz ist. ich definiere zuerst die funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=x+sinx-\frac{1}{2}(y+siny) \end{eqnarray}$ Diese ist stetig diffbar, da diese aus einer Summe von stetigern Funktion besteht. $\begin{eqnarray} f(0,0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{df}{dy}(0,0)=\frac{1}{2}(1+cos 0)=1 \end{eqnarray}$ 1 ist invertiertbar! Von hier an Probleme Dann gibt es eine offene Umgebung $\begin{eqnarray} V_1 \subset I_1, V_2 \subset I_2 \end{eqnarray}$ von 0 und eine $\begin{eqnarray} C^1 \end{eqnarray}$ Funktion $\begin{eqnarray} g:V_1 \rightarrow V_2 \end{eqnarray}$ sodass gilt: Es ist $\begin{eqnarray} F(x,g(x))=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in V_1 \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} (x,y)\in V1 \times V_2 \text{ mit } f(x,y)=0 \end{eqnarray}$ so ist $\begin{eqnarray} y=g(x) \end{eqnarray}$ Insbesondere $\begin{eqnarray} g(a)=b \end{eqnarray}$ Kann mir jemand dabei weiterhelfen?
05.07.2007, 20:53	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktion angefangen hast du ja schon richtig. die voraussetzungen des satzes über die implizite fkt sind erfüllt. dann folgt aus dem satz: es existiert eine offene menge $\begin{eqnarray} V\subset\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ , eine offene menge $\begin{eqnarray} W\subset\mathbb{R} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} 0\in W \end{eqnarray}$ und eine abbildung $\begin{eqnarray} g:W\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ , so dass 1. $\begin{eqnarray} g(0)=0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} f(x,g(x))=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in W \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} (x,y)\in V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x,y)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=g(x) \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} f\in C^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g\in C^k \end{eqnarray}$ im fall $\begin{eqnarray} k=\infty \end{eqnarray}$ gilt punkt 4 auch! somit wärst du ja fertig!
05.07.2007, 21:19	CocaCola	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versuche es einmal für alle $\begin{eqnarray} V \subset I_1 \text{ um } (0,0) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} x+sinx=0=\frac{1}{2}(g(x)+sin(g(x))) \end{eqnarray}$ Wenn man x=0 einsetzt steht da $\begin{eqnarray} 0=g(x)+sin(g(x)) \end{eqnarray}$ aber was sagt das über g(x) aus?
05.07.2007, 21:26	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
deine erste identität ist falsch. es gilt $\begin{eqnarray} f(x,g(x))=0 \end{eqnarray}$ , das heißt aber nicht, dass $\begin{eqnarray} x+\sin x=0=\frac{1}{2}(g(x)+\sin g(x) \end{eqnarray}$ gilt.
05.07.2007, 21:30	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
die ableitung von g im punkt in x=0 erhält man so: wegen f(x,g(x))=0 gilt mit der kettenregel $\begin{eqnarray} 0=\frac{d}{dx} f(x,g(x))=\partial_x f(x,g(x))+\partial_y f(x,g(x)) g'(x) \end{eqnarray}$ jetzt kannst du diese gleichung nach g'(x) auflösen und dann x=0 einsetzen!
05.07.2007, 21:53	CocaCola	Auf diesen Beitrag antworten »
wir haben folge definition $\begin{eqnarray} \frac{dg}{dx}:= - \frac{df}{dy}(x,g(x))^{-1} \frac{df}{dx}(x,g(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(\frac{1}{2}(1 + cos~y))^{-1}(1+cos~x)=-\frac{1+cos~y}{\frac{1}{2}(1+cos~x) } \end{eqnarray}$ für x=0 und g(0)=0=y $\begin{eqnarray} g'(0)=\frac{-2(1+cos~0)}{1+cos~0}=-2 \end{eqnarray}$ stimmt das?
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05.07.2007, 21:59	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
bis aud das minus-zeichen stimmt es. denke daran, dass aus der funktion f noch eins dazukommt (ableitung nach y)!
05.07.2007, 22:03	CocaCola	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt danke!

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