Beweis der Differenzierbarkeit mit Diff-Quotient

31.01.2005, 11:58	nikname	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Differenzierbarkeit mit Diff-Quotient man beweise die funktion f:R+->R $\begin{eqnarray} f(x)=x^x, x>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=1, x=0 \end{eqnarray}$ ist im null punkt stetig aber nicht differenzierbar (also das soll eine funktion sein, mit fallunterscheidung, hab es nicht schöner schreiben können) will das mit dem differentialquotienten machen, $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray}$ doch wie mach ich das, was setz ich für h ein, damit ich das so zeigen kann
31.01.2005, 12:08	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Da musst du vermutlich den rechts- und den linksseitigen Grenzwert getrennt betrachten! Nicht beachten und einfach zu Arthurs Post weiterscrollen!
31.01.2005, 12:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm g(x)=ln(f(x)), also $\begin{eqnarray} g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\cdot\ln x\ & x>0\\0 & x=0\end{array} \right. \end{eqnarray}$ und weise die Stetigkeit von g im Nullpunkt nach. Über die stetige Rücktransformation $\begin{eqnarray} f(x)=e^{g(x)} \end{eqnarray}$ folgt dann auch die Stetigkeit von f im Nullpunkt. Falls f'(0) existieren würde, dann müsste wegen $\begin{eqnarray} g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)} \end{eqnarray}$ und f(0)=1 auch g'(0) existieren. @Ben Sisko Bei Null gibt es nur den rechtsseitigen Grenzwert (f ist für negative x überhaupt nicht definiert). In solchen Fällen besteht normalerweise die Übereinkunft, dass die Ableitung existiert, sofern lediglich der rechtsseitige Grenzwert existiert.
31.01.2005, 12:19	nikname	Auf diesen Beitrag antworten »
die stetigkeite leuchtet mir ein, kann ja auch gleich bei x^x einfach $\begin{eqnarray} e^{ln(x^x)}=e^{xln(x)} \end{eqnarray*}$ schreiben, und das geht ja wohl gegen eins... aber mit der diff-barkeit komm ich nicht klar
31.01.2005, 13:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls g'(0) existiert, dann gilt $\begin{eqnarray} g'(0)=\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{g(x)-g(0)}{x} \end{eqnarray}$ , d.h., der rechts stehende Grenzwert müsste (als endlicher Wert) existieren.
31.01.2005, 13:54	nikname	Auf diesen Beitrag antworten »
achso und hier wär es ja ln(0), und daher ist es nicht diff-bar... ok,danke
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