Satz von Schwarz

05.07.2007, 21:57

Milkaschokolade

Satz von Schwarz

Hallo,

ich lerne gerade für meine Mathe-Klausur am Montag. Thema ist u.a. die partielle Differentiation.

Zum Satz von Schwarz haben wir aufgeschrieben:
fxy=fyx, wenn fx und fy existieren und stetig sind.

Im Papula steht aber:
Bei einer gemischten partiellen Ableitung k-ter Ordnung darf die Reihenfolge der einzelnen Differentiatonsschritte vertauscht werden, wenn die partiellen Ableitungen k-ter Ordnung stetige Funktionen sind.

Widerspricht sich das nicht? Ich verstehe meine Vorlesungsaufzeichnungen so, dass die Ableitungen (k-1)-ter Ordnung stetig sein müssen, da wir fx und fy aufgeschrieben haben und nicht fxy und fyx.

Freue mich auf erkärende Antworten!

05.07.2007, 22:05

Chris2005

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Satz von Schwarz besagt, dass die Differentationsreihenfolge vertauscht werden darf, wenn die partiellen Ableitungen stetig sind...

Papula behauptet, dass man das auch für höhere Ableitungen machen darf, das folgt irgendwie daraus, weil man könnte das ganze ja induktiv weitertreiben...

mfg chris

05.07.2007, 22:08

Orakel

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RE: Satz von Schwarz
es gilt

$\begin{eqnarray*} \partial_x\partial_y f(x,y)=\partial_y\partial_x f(x,y) \end{eqnarray*}$

falls f 2 mal stetig diffbar ist.

05.07.2007, 22:09

Milkaschokolade

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Zitat:

Original von Chris2005
wenn die partiellen Ableitungen stetig sind...

Was genau bezeichnest du denn jetzt als partielle Ableitungen? Nur die ersten also fx, fy,....?

Laut wiki ist die Papula-Version richtig, oder? Satz von Schwarz

EDIT: Hat jmd vilt ein Beispiel-Aufgabe/-Formel, wo der Satz von Schwarz nicht anwendbar ist?

05.07.2007, 22:18

Calvin

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Ich habe vor langer Zeit auch schon mit einem Beispiel gekämpft, für das der Satz von Schwarz nicht zutrifft. So wirklich schlau bin ich bis heute nicht geworden. Aber vielleicht hilft es dir weiter.

05.07.2007, 22:20

vektorraum

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Zum Beispiel so: Es werde eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f(0,0)=0,~~~~f(x,y)=\cfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq(0,0) \end{eqnarray*}$

definiert. Zeige, dass die vier partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} f_{xx},~f_{xy},~f_{yx},~f_{yy} \end{eqnarray*}$ überall auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ existieren, aber $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0) \end{eqnarray*}$ .

Widerspricht das nicht dem Satz von Schwarz?

Edit: Leider zu spät Hammer

05.07.2007, 22:38

Milkaschokolade

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Zitat:

Original von Calvin
Ich habe vor langer Zeit auch schon mit einem Beispiel gekämpft, für das der Satz von Schwarz nicht zutrifft. So wirklich schlau bin ich bis heute nicht geworden. Aber vielleicht hilft es dir weiter.

Ja genau das Beispiel hatten wir auch in der Vorlesung.
Wir haben fx und fy berechnet für x²+y²>0. Unser Prof war dann zu faul fx und fy zu berechnen, er hat aber gesagt, dass bei beiden gemischten Ableitungen dasselbe raus kommt.
An der Stelle (0,0) kommt bei den gemischten Ableitungen dann fxy =-1 und fyx=1 raus. Hier gilt der Schwarz'sche Satz also nicht.
Dazu haben wir folgendes aufgeschrieben:
"fxy(0,0) ungleich fyx(0,0), da fx(0,0) und fy(0,0) nicht stetig sind"
--> hier bezieht sich mein Prof, aber dann doch auf die Ableitungen (k-1)ter Ordnung, wenn fyx und fxy Ableitungen k-ter Ordnung sind.

Im Papula wird steht aber, dass die Reihenfolge der Differentiationsschritte bei einer gemischten Ableitung k-ter Ordnung vertauscht werden darf, wenn die partiellen Ableitungen k-ter Ordnung stetige Funktionen sind.

Jetzt nochmal meine Fragen:
1) Hat der Papula jetzt unrecht oder verstehe ich seine Ausdrucksweise einfach nicht und mein Prof meint dasselbe?
2) Was meint der Papula in der Definition mit den "partiellen Ableitungen"? Damit sind doch immer nur die ERSTEN partiellen Ableitungen, also im o.g. Bespiel fy und fx gemeint, oder?
3) Das ist jetzt ne elementare Frage, die ihr mir nicht unbedingt beantworten müsst: Wie sehe ich ob fx und fy (Vorlesung) bzw. die partiellen Ableitungen k-ter Ordnung (Papula) stetig sind?

05.07.2007, 22:49

vektorraum

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In seiner Formulierung lautet doch der Satz von Schwarz:

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zweimal partiell diffbar und sind die gemischten partiellen Ableitungen stetig, so ist

$\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ .

Und was liegt hier vor - die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ ist im Nullpunkt nicht stetig!!!

05.07.2007, 23:20

tut das not

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Ich finde die Formulierung im Papula nicht gerade gelungen.

Daher habe ich im Zachmann nochmal nachgeschaut. Die Beschreibung des Satz von Schwarz lautet dort folgender Maßen:

Zitat:

Sind in einem GEWISSEN BEREICH G die Ableitungen $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yx} \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen von x und y, so ist

$\begin{eqnarray*} f_{yx}=f_{xy} \end{eqnarray*}$

Was bei der Definition im Papula leicht untergeht, ist die Tatsache, dass Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist. Insofern sehe ich keinen Widerspruch zwischen der Aussage des Profs und der Definition.

07.07.2007, 11:22

Milkaschokolade

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Ok danke.

Dann haben wir in der Vorlesung aber was falsches aufgeschrieben.. :-(

09.07.2007, 13:54

therisen

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Hallo,

es gilt die Variante des Satzes von Schwarz:

Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ zwei endlichdimensionale, normierte Vektorräume. Ist $\begin{eqnarray*} f:U \to Y \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} U\subseteq X \end{eqnarray*}$ offen) zweimal differenzierbar, dann ist die zweite Ableitung symmetrisch, d.h. $\begin{eqnarray*} \partial_i\partial_j f = \partial_j\partial_i f \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ . Dabei wird nicht vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} \partial_i\partial_j f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial_j\partial_i f \end{eqnarray*}$ stetig sind, wie es beim Satz von Schwarz der Fall ist.

Der Beweis dieser Aussage ist etwas trickreich, aber durchaus schön.

Gruß, therisen

15.07.2007, 20:46

Dual Space

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Bei der Variante von therisen, möchte ich der Voraussetzung der endlichen Dimensionen von X und Y noch mal Nachdruck verleihen. In unendlichen Dimensionen ist die Variante nämlich schlicht weg falsch.

15.10.2011, 18:12

Weiss

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Zitat:

Original von Dual Space
Bei der Variante von therisen, möchte ich der Voraussetzung der endlichen Dimensionen von X und Y noch mal Nachdruck verleihen. In unendlichen Dimensionen ist die Variante nämlich schlicht weg falsch.

Für Banachräume gilt es auch:
Im Buch von W. Kaballo: "Einführung in die Analysis II" steht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \text{Es seien }E, F \text{ Banachräume, }D \subseteq E \text{ offen und }f \in \mathcal{C}^1(D,F)\text{,}<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \text{so dass } f^{'} \text{ in } a \in D \text{ differenzierbar ist. Dann gilt} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{''}(a)(k,h) = f^{''}(a)(h,k) \quad \text{für } a\in D \text{ und } k,h \in E \end{eqnarray*}$

Tut mir leid, dass ich auf ein so altes Thema antworte, aber ich bin über eine Suchmaschine auf dieses Thema gestoßen.

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