beweise...ohne zu differenzieren...

31.01.2005, 15:05

Horschie

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beweise...ohne zu differenzieren...

hallo, habe hier folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{a^2+x^2}~dx=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a^2+x^2}+\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right) \end{eqnarray*}$

soll bewiesen werden, ohne die rechte Seite zu differenzien...

als Tipp:
x = a * sinh(u) und x'(u) = dx / du = a * cosh(u)

edit: latex-Code verbessert (MSS)

31.01.2005, 15:49

Calvin

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RE: beweise...ohne zu differenzieren...
Wie weit kommst du denn mit dem gegebenen Tip? Wo genau sind deine Probleme? Du mußt nur konsequent alles substituieren (so dass kein x mehr vorkommt) und ein bißchen umformen.

31.01.2005, 15:54

Horschie

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also ich nehme mir die linke Seite der Gleichung her. Die rechte Seite ist ja quasi mein Ergebnis.

dann substituiere ich
x² durch a²*sinh²(u).
dx durch a*cosh(u)*du

dann komm ich ehrlich gesagt schon nicht mehr weiter...tippe mal auf Produktintegration als Verfahren...

31.01.2005, 16:04

Calvin

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Zunächst mal kannst du unter der Wurzel noch vereinfachen. Es gilt $\begin{eqnarray*} \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ .

31.01.2005, 16:38

Horschie

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sorry, aber irgendwie hilft mir das auch nicht so recht weiter unglücklich

unglücklich

31.01.2005, 16:53

Calvin

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Ich gebe zu, es ist aufwändiger, als ich zunächst gedacht habe. Bis zum Ende bin ich auch noch nicht gekommen. Aber ich glaube, dass ich nah dran bin Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie sieht denn dein Integral zur Zeit aus?
$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{a^2+x^2}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=a\sinh u \Rightarrow dx=a\cosh u du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{a^2+a^2\sinh^2 u}\cdot a\cdot \cosh u~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{a^2\left(1+\sinh^2 u\right) }\cdot a \cdot\cosh u~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~a^2\sqrt{1+\sinh^2 u}\cosh u~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2\int~\sqrt{\cosh^2 u}\cosh u~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2\int~\cosh^2 u~du \end{eqnarray*}$

Bist du soweit auch gekommen? Mit partieller Integration kannst du jetzt eine Stammfunktion für cosh^2(u) finden.

Für die Rücksubstitution brauchst du noch die Gleichung der Funktion y=arsinh(x) (also die Umkehrfunktion von sinh(x)). Diese bekommst du, indem du $\begin{eqnarray*} y=\sinh u = \frac{1}{2}\left( e^x-e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$ nach x auflöst.

Probiere mal, wie weit du kommst und melde dich nochmal hier. Eventuell kennt auch jemand eine Methode, die schneller ans Ziel führt Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT Fehler korrigiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

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31.01.2005, 17:33

Horschie

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cool, danke
kann deine Rechnung nachvollziehen...ist soweit klar! Gott

Gott

aber der nächste Schritt...die Stammfunktion von cosh^2(u)
ich komm mit der Partiekken Integration zu kenien vernüftigen Ergebnis das irgendwie Sinn hätte unglücklich

unglücklich

31.01.2005, 17:43

Calvin

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Puh, ich habe es jetzt nacht einigen Fehlversuchen endlich korrekt durchrechnen können. Ich kann dir sagen, du hast noch viel vor dir Big Laugh

Big Laugh

Aber zunächst mal hier weiter.

Wie hast du denn die partielle Integration gemacht? Es wäre nicht schlecht, wenn du deine Rechenschritte hier aufschreiben könntest. Dann kommt es nicht so rüber, als würde ich es dir vorrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int \cosh(u)\cdot\cosh(u)~du=\sinh (u)\cosh(u)-\int\sinh^2(u)~du \end{eqnarray*}$

Und jetzt im Restintegral $\begin{eqnarray*} \sinh^2(u)=cosh^2(u)-1 \end{eqnarray*}$ ersetzen. Kommst du jetzt auf die gesuchte Stammfunktion?

31.01.2005, 17:45

Mathespezialschüler

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Wenn du willst, kannst du dich ja auch hier durchwühlen. Du musst aber schon den ganzen Post durchgucken, die Lösung ist ein wenig in der Mitte versteckt und durch die große Menge an Gleichungen ist es alles ein wenig unübersichtlich.

31.01.2005, 18:20

Calvin

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Danke MSS. Die Lösung sieht auch gut aus.

@Horschie
Bei der Lösung von MSS geht es um das Integral $\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1+u^2}~du \end{eqnarray*}$ . Du kannst dein Integral durch Umformungen in eine solche Form bringen. Dann geht das auch ohne die Substitution x=sinh(u). Ist es egal, WIE ihr die Aufgabe löst? War diese Substitution nur als Hinweis gedacht? Oder sollt ihr tatsächlich damit arbeiten?

01.02.2005, 18:01

Horschie

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$\begin{eqnarray*} int(cosh(u)^2) = 1/2 * (u+sinh(u) * cosh(u)) \end{eqnarray*}$

so...jetzt nur noch rücksubstituieren,,,

danke schön Gott

Gott

01.02.2005, 18:17

Calvin

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Ja, das ist richtig.

Zitat:

Original von Horschie
so...jetzt nur noch rücksubstituieren,,,

Das meinte ich mit "Du hast noch viel vor dir" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber vielleicht gelingt es dir ja schneller als mir.

EDIT
Ich gehe mal von einem Tippfehler aus: Das eine x in der Stammfunktion ist noch ein u.

01.02.2005, 18:18

Horschie

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naja...wage ich mal zu bezweifeln Rock

Rock

Tante edith sagt: tschuldigung, vertippt

01.02.2005, 18:28

Calvin

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Wer weiß. Vielleicht gelingt es dir tatsächlich problemlos. Versuche konzentriert die Übersicht zu behalten. Wenn du nicht weiterkommst, kannst du gerne hier nochmal nachfragen.

01.02.2005, 18:53

Horschie

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hast du noch eien Tipp für die Rücksubstitution?

es wurde x = a * sinh(u) substitutiert.

jetzt muss ich nach u auflösen denke ich mal und dann wiederum in
$\begin{eqnarray*} int(cosh(u)^2) = 1/2 * (u+sinh(u) * cosh(u)) \end{eqnarray*}$
einsetzen und ausrechnen?
oder bin ich da total auf dem Hlozweg?

01.02.2005, 19:06

Calvin

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Ja, das hast du richtig erkannt. Also u=arsinh(x/a).

Du kennst sicher $\begin{eqnarray*} \sinh(x)=y=\frac{1}{2}\left( e^x-e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$ . Wenn du diese Formel nach x auflöst und x und y vertauschst, bekommst du einen Ausdruck für arsinh(x).

Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray*} arshinh(x)=\ln{(x+\sqrt{x^2+1})} \end{eqnarray*}$

Außerdem brauchst du noch $\begin{eqnarray*} \cosh(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Edith erinnert mich noch an was:

Du hast noch den Faktor a^2 vor dem Integral. Den darst du nicht vergessen.

01.02.2005, 19:29

Horschie

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wenn ich davon ausgehe, daß a*sinh(u) = x ist
dann ist sinh(u)= x/a

damit kann ich schon mal die linke Seite resubstituieren (wenn man cosh²durch 1+sinh² ersetzt)

aber beim Cosh auf der rechten komm ich nicht weiter...

01.02.2005, 19:56

Calvin

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Auf der linken Seite mußt du nichts resubstituieren, da du dieses Integral ja ausrechnen willst.

Auf der rechten Seite bei cosh(u) mußt du das u durch arsinh(x/a) ersetzen. Das ist der aufwändige Teil. Wäre nett, wenn du deine Ansätze hier aufschreiben würdest. Dann wäre es einfacher zu helfen smile

smile

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