LGS / lineare Abhängigkeit von Vektoren

31.01.2005, 21:38

aRo

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LGS / lineare Abhängigkeit von Vektoren

Hallo!

Also, habe wieder ein Problem mit einem LGS.

So sieht die Aufgabe aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ -3 \\5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -a \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2a \end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

so, ich bin jetzt bei diesem Stadium (sieht hier etwas unübersichtlich aus, bei mir im Heft isses besser Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} a*x + y - 2z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+3)x + (a+1)y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a^2+5)x + (a+2)y = 0 \end{eqnarray*}$

ich würde ja nun gerne x oder y "wegschießen".
Muss ich jetzt hier mit sowas in der Art erweitern: $\begin{eqnarray*} \frac{a+2}{a+1} \end{eqnarray*}$ ?

oder gibt es hier eine andere Möglichkeit?

gruß,
aRo

31.01.2005, 22:13

AD

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RE: LGS / lineare Abhängigkeit von Vektoren

Zitat:

Original von aRo
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ -3 \\5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -a \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2a \end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & -2\\ -3 & -a & -2 \\5 & 2 & 2a\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

meinst? Deine Schreibweise oben ist jedenfalls inakzeptabel, da die Verwechslungsgefahr zum Skalarprodukt zwischen den Spalten besteht.

31.01.2005, 22:28

Seimon

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RE: LGS / lineare Abhängigkeit von Vektoren
Ich schätze du willst etwas über die Lösbarkeit des LGS in Abhängigkeit von a aussagen oder?

01.02.2005, 14:33

aRo

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@ Arthur Dent:
Hmm..wenn du meinst. Wir schreiben es jedenfalls so auf.
Das ganze soll heißen, dass es 3 Vektoren sind, die zusammen ja den Nullvektor ergeben.

@Seimon: Joar. Ich soll a so bestimmen, dass lineare Abhängigkeit besteht.

Dazu müsste ich natürlich erstmal weiter auflösen. Werde das gleich mal so wie ich es mir schon gedacht hatte versuchen.

gruß,
aRo

01.02.2005, 14:36

JochenX

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Arthur hat recht, das ist so echt falsch, wies da steht...

wenn du eine zeile mit (a+2)/(a+1) erweiterst (darfst du prinzipiell) musst du fallunterscheidungen machen! a<>-2, a<>-1....
diese fälle musst du dann gesondert betrachten....

einfacher gehts über determianten. sagt dir das was?

01.02.2005, 15:01

aRo

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wird es dann so aufgeschrieben, wie es Arthur Dent schon getan hat?

ja, richtig. So früh schon Fallunterscheidungen ist natürlich dumm, und leider sagen mir Determinanten nichts :-(

gruß,
aRo

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01.02.2005, 15:03

JochenX

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ja und in der matrixform von arthur kannst du auch rechnen...
du sparst dir dadurch immer *x *y und *z zu schreiben....

also sagt dir gaussalgorithmus was?

mfg jochen

01.02.2005, 15:10

aRo

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mist. ne :-(

lohnt es sich sich das für die Aufgabe anzuschauen und zu lernen? Glaube eigentlich nicht, dass unser Lehrer auf einen unbekannten Algorithmus hinauswollte, er sagte lediglich, dass man nun was nachdenken müsse (kann aber auch auf 2 andere Aufgaben bezogen sein, die hier vielleicht auch noch auftauchen werden, mal sehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

gruß,
aRo

01.02.2005, 15:21

JochenX

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naja, weahrscheinlich wendest du das verfahren an, ohne zu wissen, dass es den namen trägt....
das ist einfach das verfahren mit dem du nuller erzeugst...

seien deine ersten gleichungen am anfang so:
(i) 3x+...
(ii) -2x+...

so nimmst du die erste zeile *2, die 2. zeile *3 und addierst dann die erste auf die 2. drauf, um die koeffieziente der 2. zeile vor x zu 0 zu machen.
du bringst dein LGS auf treppenform.
das ist mit gaussalgorithmus gemeint.

mfg jochen

01.02.2005, 15:33

Seimon

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du kannst das ganze als 3 Gleichungen anschreiben, dann die 3 Gleichungen durch addieren und einsetzen lösen!

dann bekommst du eine Lösung die von a abhängt, und mit der kannst du Aussagen über a treffen!

Probiers einfach mal! ist nicht allzuviel Aufwand!

ich seh grad das war eh dein erster Ansatz, leider kann ich ned ganz nachvollziehen wie du das angegangen bist unglücklich

unglücklich

01.02.2005, 15:48

aRo

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stimmt LEOD, natürlich kenn ich dat! smile

smile

Hätt ich auch selber drauf kommen können.

Also ich habe mich dann jetzt entschieden y wegzuknallen. Habe es gemacht, und rausbekommen, dass a = 1 sein muss, damit x nicht zwingend null sein muss.

Also wären die Vektoren für a = 1 linear abhängig.

Soweit, so gut. Ich habe mir dann überlegt, ob es nun noch andere Lösungen geben könnte. Es könnte doch sein, dass es auch für ein anderes a noch linear abhängig ist, oder?

Irgendwie bekomme ich gerade diese Verbindung nicht hin. Hätte dieses eventuelle "zweite a" auch "beim x" auftauchen müssen?

Ich habe das ganze dann noch einmal gemacht und halt diesmal x weggeschossen. y muss auch nur nicht null sein, wenn a = 1 ist.

gruß,
aRo

01.02.2005, 15:52

JochenX

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blabkla rechnen blabla....

jetzt hast du (a-1)x=0

fall1: a=1 linear abhängigkeit blabla
fall2: a<>1, dann x=0, damit kannst du abe x=0 eine zeile weiter obenj einsetzen und da stand evtl. (a+2)y+7x=0, also steht dann da jetzt (a+2)y=0
und du kannst wieder fallunterscheideung machen.......

01.02.2005, 15:59

aRo

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*grummel*

wohl mal wieder nicht mein Tag unglücklich

unglücklich

Vielen Dank für deine Hilfe! Also ich habe das jetzt durchgemacht und ausgerechnet:

a = 1 v a = -1 v a = -2

Falls dus auch mal gerechnet hast, kannst du mir ja sagen, ob das stimmt.

Vielen Dank noch mal!

aRo

01.02.2005, 16:11

Seimon

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hmmm ich bekomme als Lösung: $\begin{eqnarray*} a^3=1 \end{eqnarray*}$

01.02.2005, 16:13

aRo

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richtig, habe ich als erstes auch.

Jedoch habe ich dann noch die beiden anderen Lösungen gefunden, als ich x gleich null gesetzt habe.

gruß,
aRo

01.02.2005, 16:17

JochenX

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hmm, das kann so nicht ganz stimmen.....
rechne noch mal nach....
für a=-1 oben eingesetzt sind die vektoren linear unabhängig (schau dir mal an, was für den koeffizienten von dem ersten vektor gelten müsste, wenn du 0 linearkombinieren möchtest.... (betrifft: 1., 2. komponente))

sonst hab ichs nicht nahgerechnet muss auch bald weg.
wer hat lust?!

01.02.2005, 20:09

aRo

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hi!

also für die Aufgabe habe ich nun die Lösungen a = 1, a=0, a = -1 und a = -2

a=1,0 ist wohl die richtige Lösung. Ich weiß allerdings nicht, warum die beiden anderen falsch sind.
Vielleicht deshalb: ich multiplizere einmal mit (a+2) und einmal mit (a+1). Also würde ich beiden Fällen theoretisch mit 0 multiplizieren. Aber dies ist doch eigentlich nciht verboten? Dann hätte ich halt 0 = 0 da stehen, was doch wahr ist.

Also sinds doch eigentlich trotzdem noch 2 gültige Lösungen, oder?

ich habe noch 2 andere Aufgaben gemacht. Wenn jmd ganz toll ist, Zeit und Lust hat, kann er ja mal meine Ergebnisse überprüfen!

1.) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ a & 8 & 1 \\ a^2 & 18 & 1 \end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$
Bestimme a so, dass sich lineare Abhängigkeit ergibt.

2.) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a& 5& 3\\ 1& 6& 2\\ 2 & b& 4\end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$
Bestimme a so, dass sich lineare Abhängigkeit ergibt.

Meine Ergebnisse sind:
1.) a = 5/3 v a = 1
2.) b = 16, a = 0.5 <--- mich wundert, dass ich hier keine Beziehung zwischen b und a rausbekomme. Habe ich vielleicht wieder was falsch gemacht, was?

gruß,
aRo

01.02.2005, 20:27

Seimon

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a=0 ist keine Lösung! mach die Probe!

Ich sag dir jetz Trotzdem meinen Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & 1 & -2\\ -3 & -a & -2 \\5 & 2 & 2a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Determinante Berechnen:

$\begin{eqnarray*} Det(A) =( a\cdot (-a)\cdot 2a) +(1\cdot (-2)\cdot 5)+((-2)\cdot (-3)\cdot 2) -( (-2)\cdot (-a)\cdot 5)-(1\cdot (-3)\cdot 2a)-(a\cdot (-2)\cdot 2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-2a^3-10+12-10a+6a+4a=-2a^3+2 \end{eqnarray*}$

Jetzt:

$\begin{eqnarray*} Det(A)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2a^3+2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^3=1 \end{eqnarray*}$

(Reelle) Lösung: a=1

01.02.2005, 20:35

Seimon

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Zitat:

Original von aRo
1.) a = 5/3 v a = 1
2.) b = 16, a = 0.5 <--- mich wundert, dass ich hier keine Beziehung zwischen b und a rausbekomme. Habe ich vielleicht wieder was falsch gemacht, was?

1.) ist richtig!

2.) hast dich verrechnet oder die angabe falsch gepostet!

01.02.2005, 20:47

aRo

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hm...das mit diesen Determinanten kapier ich nicht.
Aber du hast recht, wenn ich null einsetze und das ganze dann mal mit a = 0 rechne, bekomme ich lineare unabhängigkeit raus.....
aber ein Mitschüler hat mir gesagt, 1 und 0 wären die Lösungen, hätte unser Lehrer letzte Stunde gesagt.
Komisch dass ich das auch rausbekomme, aber die Probe nciht stimmt unglücklich

unglücklich

schon, dass ich die 1.) richtig habe smile

smile

bei der 2 habe ich mich echt total verrechnet *grummel* Zur Zeit bin ich echt durchn Wind Augenzwinkern

Augenzwinkern

So, hoffe das Ergebnis ist jetzt richtig: b = 12, a = 1,5

gruß,
aRo

01.02.2005, 20:56

Seimon

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beim 2ten kommst ich auf:

$\begin{eqnarray*} 36-24a-3b+2ab=0 \end{eqnarray*}$

das kann man aber vereinfachen zu:

$\begin{eqnarray*} (2a-3)\cdot(b-12)=0 \end{eqnarray*}$

das heisst a=1,5 oder beliebig falls b=12, Deine Rechnung stimmt!

sieht man auch gut: wenn a=1.5 ist die 3. Spalte das Doppelte der ersten!
falls b=12 ist die 3. Zeile das Doppelte der 2. Zeile! smile

smile

01.02.2005, 21:15

aRo

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deine Rechenweise scheint mir irgendwie viel cooler :-)

Ist die sehr kompliziert zu erklären?

denn bei deiner Schreibweise ist mir direkt ersichtlich, dass es egal ist welchen Wert b hat, wenn a = 1,5 und entsprechend andersrum.

Bei meiner Rechnung sehe ich das nicht.
Obwohl....naja, wenn man logisch nachdenkt und seine Kenntnisse über lineare Abhängigkeit mit einbezieht, kann man da auch drauf kommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruß,
aRo

01.02.2005, 21:20

Seimon

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les das: http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante

wenn du willst kann ich dir erklären wie man die Determinante einer 2mal2 und 3mal3 Matrix berechnet ist überhaupt nicht schwer!

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