Beweis: Kreuzprodukt

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Zuhaelter Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Kreuzprodukt
Hallo, ich bräuchte den Beweis dafür, dass die Länge des Kreuzprodukts gleich der der beiden Vektoren mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels ist
|c| = |a|*|b|*sinµ
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Kreuzprodukt
sorry
aber vorab
hättest du dir nicht noch einen dümmeren Namen nehmen können?
Zuhaelter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Kreuzprodukt
nein, schwerlich
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich fang mal anders an:

spannen ein Parallelogramm auf. Dann beträgt der Flächeninhalt:

, was jedoch zu beweisen ist.

Wobei der von eingeschlossene Winkel ist.

Der Beweis läuft dann über den Flächeninhalt eines Parallelogramms.
Dieser lässt sich über das Produkt aus Grundseite zu dessen Höhe berechnen:



Da h senkrecht auf ist, erhält man so ein rechtwinkliges Dreieck, indem man h auch über Winkelfunktionen darstellen kann.

Das setzen wir nun in die o. g. Gleichung ein und erhalten:



Aufgrund weiterer Umformungen quadrieren wir den ganzen Spaß:



Sin²y kann über den trigonometrischen Pythagoras umgewandelt werden:





Da ist, kann die Gleichung weiter vereinfacht werden:



Der ganze Spaß wird jetzt erstmal ausgerechnet, xa, yb... sind jeweils die Komponenten der einzelnen Vektoren:



Das kannst du jetzt alles ausrechnen und zusammenfassen:

.

Daraus zaubert man noch drei binomische Formeln:

.

An der Stelle kann man erstmal nicht weiter umformen. Nun muss man auf das Kreuzprodukt eingehen.
Wir hatten ja gesagt:



Anwendung der Def. des Kreuzprodukts



Setzt man das nun in die obige Gleichung ein, so erhält man:


Die Wurzel fällt durch Anwendung zweier Umkehroperationen weg und man erhält eine wahre Aussage.



Leider ist mir der Beweis von der Form her nicht sehr gut gelungen, aber ich denke, dass du zumindest etwas damit anfangen kannst.
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