Hilfe bei Prüfungsvorbereitung |
01.02.2005, 12:03 | Majin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hilfe bei Prüfungsvorbereitung 1. Folge und a(n+1) = (a(n) + 1) für a. Zeigen sie: Es gilt a(n) > 1/3 2. Die Funktion f: [0,1] --> sei stetig und es gelte f(0) = f(1) Zeigen sie, dass es eine Zahl a gibt, so dass gilt f(a) = f(a + ) Hinweis: Definieren sie eine geeignete Hilfsfunktion [/latex] 3. Zeigen sie, dass es eine Zahl w[a,b] gibt, so dass gilt: f(w) = Hab hier keine Ansätze, bzw Lösungsmögichkeiten gefunden. Hoffe ihr könnt mir helfen. |
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01.02.2005, 12:22 | cmenke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Hilfe bei Prüfungsvorbereitung
Dazu fällt mir so 'ne Art Abschätzung ein: und daraus folgt dann, dass . Das ist aber total schmierig aufgeschrieben, irgendwie wie eine Induktion ohne Anfang. Ich kann ja nicht einfach von a(1) auf a(n) schliessen... andererseits ist es offensichtlich, das ganze ist ja rekursiv definiert. Naja, hmm, irgendwie so jedenfalls *g* |
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01.02.2005, 14:40 | Majin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre eine Möglichkeit, aber ich glaube das wird anders verlangt. Die anderen 2 Aufgaben wären mir aber wichtiger. Zu 3. hab ich nur die Idee, dass ja w zwischen a und b liegt und (f(a) + f(b)) / 2 auch zwischen a und b liegen muss, deshalb f(w), aber das kann doch nicht die Lösung sein |
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01.02.2005, 15:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu 2: definiere die Funktion g(x) = f(x) - f(x + 1/2). Berechne mal g(0) und g(1/2). Was fällt auf? Tipp: bei Stetigkeit gibt es so Zwischenwertsätze. Das hilft auch bei 3. |
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01.02.2005, 18:35 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 1: Das allgemeine Glied der Folge lautet , und damit |
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01.02.2005, 21:47 | Majin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wäre mein "Ansatz" für 3. richtig, wenn ich noch "Zwischenwertsatz" erwähne? Bei 2. weiß ich aber nicht was die Hilfsfunktion sein soll @etzwane: Wir haben nicht gelernt dass allgemeine Glied zu berechnen, muss also ohne gehen |
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01.02.2005, 21:52 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 1.: Das allereinfachste und simpelste ist hier Induktion. Und ich bin mir 100% (!!!) sicher, dass das so 'verlangt' ist. |
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01.02.2005, 21:59 | Majin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entweder bin ich blind oder ich steh total auf dem Schlauch. Ich seh da keine vollst. Induktion |
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01.02.2005, 22:08 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Steht doch alles schon da, weiter oben n=1 dürfte klar sein. Induktionsschritt: Sei . Dann ist fertsch. |
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01.02.2005, 23:01 | Majin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da muss ich mir selber aufs Hirn haun. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.... So, 1. wäre geklärt, bleibt nur noch 2. und die Antwort auf meinen Ansatz zu 3. |
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01.02.2005, 23:28 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast du allerdings recht ! |
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01.02.2005, 23:55 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also nähere Erläuterungen zu klarsoweits Tipp: g(0) und g(1/2) haben verschiedene Vorzeichen (warum das so ist, erkennst du, wenn du g(0)+g(1/2) berechnest). Damit gibt es nach Zwischenwertsatz eine Stelle x' mit 0 <= x' <= 1/2, so dass g(x')=0 ist. |
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02.02.2005, 08:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das hatte ich doch geschrieben: Die Hilfsfunktion ist g(x) = f(x) - f(x + 1/2). Hast du das nicht gelesen oder verstanden? Der Vollständigkeit halber muß man auch zeigen, daß g stetig ist. Noch zu 3: (f(a) + f(b))/2 liegt nicht zwischen a und b wie du geschrieben hast, sondern zwischen f(a) und f(b). Und dann kommt der Zwischenwertsatz. |
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02.02.2005, 08:43 | Schnikschnak_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Majin, kann es sein, dass die mathe an der fh regensburg studierst bei 2 und 3 gleiches Verfahren wie die anderen schon gesagt haben eine hilfsfunktion definieren (hilfsfunktion ist keine funktion die die ggf. voraussetzungen erfüllt) hilfsfunktion bilden die grenzen einsetzen und schauen was dabei rauskommt und was da auffällt und dann kannst du einfach mit dem ZWS begründen, dass nach ZWS ein x gibt die die voraussetzungen erfüllt. bei 1. hier handelt es sich um eine rekursive folge (falls du an der fh regensburg studierst findest du eine solche aufgabe auf dem 2. oder 3. ÜB) Mathespezialschüler hat 100% recht Vollständigeinduktion ist die Lösung Gruss |
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02.02.2005, 20:55 | Majin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, hab ich wohl im Eifer des Gefechts überlesen. Zu 3. Ja meinte ja zwischen [f(a),f(b)], aber mich verwundert es, das die Lösung so kurz ist. @Schnikschnak_: Ja, was für ein Zufall |
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