Hilfe bei Prüfungsvorbereitung

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Majin Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei Prüfungsvorbereitung
So, Prüfung steht bei mir am Donnerstag an. Hab schon viele Prüfungsaufgaben gemacht und fast alle dabei auch perfekt gelöst, jedoch bei diesen hab ich noch Probleme:

1. Folge und a(n+1) = (a(n) + 1) für

a. Zeigen sie: Es gilt a(n) > 1/3

2. Die Funktion f: [0,1] --> sei stetig und es gelte f(0) = f(1)
Zeigen sie, dass es eine Zahl a gibt, so dass gilt f(a) = f(a + )
Hinweis: Definieren sie eine geeignete Hilfsfunktion [/latex]

3. Zeigen sie, dass es eine Zahl w[a,b] gibt, so dass gilt:

f(w) =

Hab hier keine Ansätze, bzw Lösungsmögichkeiten gefunden. Hoffe ihr könnt mir helfen.
cmenke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe bei Prüfungsvorbereitung
Zitat:
Original von Majin
1. Folge und a(n+1) = (a(n) + 1) für

a. Zeigen sie: Es gilt a(n) > 1/3


Dazu fällt mir so 'ne Art Abschätzung ein:

und daraus folgt dann, dass .
Das ist aber total schmierig aufgeschrieben, irgendwie wie eine Induktion ohne Anfang. Ich kann ja nicht einfach von a(1) auf a(n) schliessen... andererseits ist es offensichtlich, das ganze ist ja rekursiv definiert.

Naja, hmm, irgendwie so jedenfalls *g*
 
 
Majin Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre eine Möglichkeit, aber ich glaube das wird anders verlangt.

Die anderen 2 Aufgaben wären mir aber wichtiger.

Zu 3. hab ich nur die Idee, dass ja w zwischen a und b liegt und (f(a) + f(b)) / 2 auch zwischen a und b liegen muss, deshalb f(w), aber das kann doch nicht die Lösung sein verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2: definiere die Funktion g(x) = f(x) - f(x + 1/2). Berechne mal g(0) und g(1/2). Was fällt auf? Tipp: bei Stetigkeit gibt es so Zwischenwertsätze. Das hilft auch bei 3.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1:
Das allgemeine Glied der Folge lautet ,
und damit
Majin Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre mein "Ansatz" für 3. richtig, wenn ich noch "Zwischenwertsatz" erwähne?

Bei 2. weiß ich aber nicht was die Hilfsfunktion sein soll verwirrt

@etzwane: Wir haben nicht gelernt dass allgemeine Glied zu berechnen, muss also ohne gehen Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1.: Das allereinfachste und simpelste ist hier Induktion. Und ich bin mir 100% (!!!) sicher, dass das so 'verlangt' ist.
Majin Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder bin ich blind oder ich steh total auf dem Schlauch. Ich seh da keine vollst. Induktion verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Steht doch alles schon da, weiter oben

n=1 dürfte klar sein.

Induktionsschritt: Sei . Dann ist



fertsch.
Majin Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss ich mir selber aufs Hirn haun. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.... Hammer

So, 1. wäre geklärt, bleibt nur noch 2. und die Antwort auf meinen Ansatz zu 3.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zu 1.: Das allereinfachste und simpelste ist hier Induktion. Und ich bin mir 100% (!!!) sicher, dass das so 'verlangt' ist.


Da hast du allerdings recht !
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Majin
Bei 2. weiß ich aber nicht was die Hilfsfunktion sein soll verwirrt


Also nähere Erläuterungen zu klarsoweits Tipp:

g(0) und g(1/2) haben verschiedene Vorzeichen (warum das so ist, erkennst du, wenn du g(0)+g(1/2) berechnest). Damit gibt es nach Zwischenwertsatz eine Stelle x' mit 0 <= x' <= 1/2, so dass g(x')=0 ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Majin
Bei 2. weiß ich aber nicht was die Hilfsfunktion sein soll verwirrt

das hatte ich doch geschrieben: Die Hilfsfunktion ist g(x) = f(x) - f(x + 1/2). Hast du das nicht gelesen oder verstanden? verwirrt
Der Vollständigkeit halber muß man auch zeigen, daß g stetig ist.

Noch zu 3: (f(a) + f(b))/2 liegt nicht zwischen a und b wie du geschrieben hast, sondern zwischen f(a) und f(b). Und dann kommt der Zwischenwertsatz.
Schnikschnak_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Majin,

kann es sein, dass die mathe an der fh regensburg studierst Augenzwinkern

bei 2 und 3 gleiches Verfahren
wie die anderen schon gesagt haben eine hilfsfunktion definieren
(hilfsfunktion ist keine funktion die die ggf. voraussetzungen erfüllt)

hilfsfunktion bilden die grenzen einsetzen und schauen was dabei rauskommt und was da auffällt und dann kannst du einfach mit dem ZWS begründen, dass nach ZWS ein x gibt die die voraussetzungen erfüllt.

bei 1.
hier handelt es sich um eine rekursive folge
(falls du an der fh regensburg studierst findest du eine solche aufgabe auf dem 2. oder 3. ÜB)

Mathespezialschüler hat 100% recht Augenzwinkern Vollständigeinduktion ist die Lösung Augenzwinkern

Gruss
Majin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
das hatte ich doch geschrieben: Die Hilfsfunktion ist g(x) = f(x) - f(x + 1/2). Hast du das nicht gelesen oder verstanden? verwirrt
Der Vollständigkeit halber muß man auch zeigen, daß g stetig ist.

Noch zu 3: (f(a) + f(b))/2 liegt nicht zwischen a und b wie du geschrieben hast, sondern zwischen f(a) und f(b). Und dann kommt der Zwischenwertsatz.


Sorry, hab ich wohl im Eifer des Gefechts überlesen.

Zu 3. Ja meinte ja zwischen [f(a),f(b)], aber mich verwundert es, das die Lösung so kurz ist.

@Schnikschnak_: Ja, was für ein Zufall geschockt
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