grenzwert einer lustigen reihe

01.02.2005, 13:01

humpenau

grenzwert einer lustigen reihe

hallo,
verzweifle gerade an der berechnung von
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~7^{n-1}/(n(n+1)* (4^{2n+1})) \end{eqnarray*}$

kann mir dabei jemand helfen?

01.02.2005, 13:27

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RE: grenzwert einer lustigen reihe
Die Anwendung des Quotientenkriteriums führt unmittelbar zum Erfolg.

01.02.2005, 13:33

JochenX

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rofl, ist die lustig.... fröhlich

und gewöhn dir bitte an, für brüche "\frac{zähler}{nenner}" als LaTeXCode zu verwenden, das ist dann viel übersichtlicher als so.....

nurn gut gemeinter tipp, denn dann muss man nicht so sehr auf die klammerung schielen und erfasst schneller das wesentliche.

mfg jochen

01.02.2005, 13:38

kurellajunior

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RE: grenzwert einer lustigen reihe
Ich will auch gern lachen... was hat das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit dem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu tun? Bitte geh doch einer von meinem Schlauch verwirrt

01.02.2005, 13:45

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RE: grenzwert einer lustigen reihe

Zitat:

Original von kurellajunior
was hat das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit dem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu tun?

DAS war also das lustige. Da hab ich mich natürlich oben bezüglich des Konvergenzverhaltens geirrt - tja, lesen müsste man halt können! Hammer

01.02.2005, 16:11

Mathespezialschüler

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Jetzt mal weg vom "drüber lustig machen" Big Laugh

Ich denk mal, es ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{7^{n-1}}{n(n+1)\cdot 4^{2n+1}} \end{eqnarray*}$

gemeint.

@ArthurDent
Unter Berechnung verstehe ich das Herausfinden des Grenzwertes und nicht die Feststellung über Konvergenz oder Divergenz. Der Titel verrät ja auch schon, dass man wohl den Grenzwert berechnen soll. Augenzwinkern

Und wenn man das Konvergenzverhalten relativ schnell feststellen möchte, würde ich so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{7^{n-1}}{n(n+1)\cdot 4^{2n+1}}=\frac{1}{28}\cdot \sum_{n=1}^\infty~\left(\frac{7}{16}\right)^n\frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

und jetzt einfach die (offensichtliche) geometrische Reihe als Majorante benutzen.

edit: Sorry, hab den \frac vergessen, danke für die Verbesserung!

edit2: Danke ArthurDent! 4²=8, was is da bloß in meinem Kopf vor sich gegangen. böse

01.02.2005, 17:08

Leopold

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Spezialisiere $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{28} \sum_{n=1}^{\infty}~n(n+1)\left( \frac{7}{8} \right)^n x^{n-1} = \frac{32}{(8-7x)^3} \end{eqnarray*}$

Herleitung:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\left( \frac{7}{8} \right)^n x^{n+1} \end{eqnarray*}$ zweimal differenzieren.

Konvergenzradius ist offenbar $\begin{eqnarray*} R = \frac{8}{7} \end{eqnarray*}$ .

01.02.2005, 19:57

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Leopold hat offenbar nur den letzten Term bei MSS angeschaut, leider ein Ergebnis falscher Umformung.

Betrachten wir

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sum_{n=1}^\infty~\frac{x^{n+1}}{n(n+1)},\qquad |x|<1 \end{eqnarray*}$ ,

dann suchen wir den Wert $\begin{eqnarray*} G=\frac{4}{49}\cdot g\left(\frac{7}{16}\right) \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=\sum_{n=1}^\infty~\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x) \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} g(x)=x+(1-x)\ln(1-x) \end{eqnarray*}$ , letzteres wegen g(0)=0.

01.02.2005, 20:15

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Leopold hat offenbar nur den letzten Term bei MSS angeschaut, leider ein Ergebnis falscher Umformung.

Jetzt kann man sich auch auf MSS nicht mehr verlassen ... traurig

Denk ich an Deutschland in der Nacht ...

01.02.2005, 21:14

Mathespezialschüler

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Sorry

War deine Idee ganz umsonst für die Aufgabe.
Ich habs mir aber trotzdem mal angeguckt und noch nich ganz verstanden, wie du drauf kommst verwirrt

01.02.2005, 23:08

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@MSS

Wenn du oben beim Korrigieren bist, dann aber wegen 4²=16 bitte auch $\begin{eqnarray*} \left(\frac{7}{16}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

In dem Thread steckt wohl die Seuche: Leopold und ich haben uns zwar nicht verrechnet (hoffe ich zumindest), dafür aber zunächst die Originalaufgabenstellung nicht richtig gelesen. Augenzwinkern

01.02.2005, 23:12

Leopold

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Es ist halt eine "lustige Reihe".

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