Skalarprodukt

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tim taler Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt
Hallo,

ich möchte gerne mittels Skalarprodukt nachweisen, dass 2 Vektoren a und b lin. unabhängig sind.
In der Regel mache ich das indem ich zeige, dass sich der eine nicht als Linearkombination des anderen darstellen lässt. Wie aber kann ich dies über das Skalarprodukt beweisen?
Die Vektoren seien
a=(-1;3) und b=(-1;-1)

Gruß, tt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt
Zeige mit dem Skalarprodukt, daß der eingeschlossene Winkel alpha = Null oder 180 Grad ist. Es ist also cos(alpha)=1 oder cos(alpha)=-1.
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das überlegt man sich am besten so:

Zwei Vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn sie auf einer Geraden liegen, also o.B.d.A. gilt mit . Dann ist

.

In deinem Fall ist




Es folgte



Aber .


Gruß, therisen
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Das mit dem Winkel kommt mir auch ganz bekannt vor.
Nach Berechnung von cos(alpha) erhalte ich -2/Wurzel(20)
Somit ist die Bedingung cos(alpha) gleich 1 bzw. -1 nicht erfüllt.
Folglich linear unabhängig!
Soweit ok?

Gruß, tt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sie sind linear unabhängig, das habe ich ja schon verraten Augenzwinkern

Man sollte nur bedenken, dass man im allgemeinen keinen Taschenrechner zur Verfügung hat...


Gruß, therisen
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

habe das auch schön von Hand gerechnet. Im Zähler das SkalarP von a und b angewendet. und im Nenner die Beträge ausmultipliziert.
Ergibt
-2/Wurzel(2)*Wurzel(10) -> -2/Wurzel(20)
Wir bekommen in unseren Klausuren nur Punkte auf begründete Ergebnisse. Ein Ergebnis "nur" mit TR gibt sogar noch ne ordentlichen Anschiss dazu! Aber man will ja auch was davon haben und weiterkommen, also ist das schon alles korrekt!

Gruß, tt
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