differenzieren...

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Em'A'Ce Auf diesen Beitrag antworten »
differenzieren...
Hallo Leute,

ich sitze hier gerade an einer Aufgabe, bei der es mir am meisten Mühe macht, sie so hinzuschreiben, dass es formal korrekt ist.
Die Aufgabe:

Zeigen Sie: Ist an der Stelle differenzierbar, so ist
.
Und ist differenzierbar und an der Stelle differenzierbar, so ist
.


Die erste habe ich so weit, und ich denke, sie ist auch formal richtig, aber bei der zweiten scheitere ich an der Notation:
Ich forme die Gleichung folgendermaßen um:

Jetzt sieht man's ja schon fast, aber eben nur fast. Und meine Frage ist jetzt: Wie kann ich das h so substituieren, dass ich da zwei Limites reinbekomme, die dann jeweils gegen streben und darüber einen "großen" Limes habe, der dann gegen geht.

Ich hoffe ich habe mein Problem einigermaßen klar gemacht und einer von euch kann mir helfen (es dürfen auch mehrere helfen Augenzwinkern ).

Im Voraus schon vielen Dank für eure Hilfe.
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

edit : Unter diesem Beitrag gehts weiter.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht geht es ja mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:




Möglicherweise kommt dabei die erste Formel ins Spiel.
So könnte das klappen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs mal nach HöMa verschoben.

edit: f ist nach Voraussetzung differenzierbar.
Außerdem ist trivialerweise , womit für den Grenzwert alle Voraussetzungen für l'Hospital erfüllt sind.
Durch anschließendes Anwenden von der 1. Aufgabe dürfte alles klar sein.



edit2: Ein bisschen elementarer wird es, wenn man Leopolds Idee aufgreift und sie ein bisschen modifziert, indem man anstelle des 'normalen' Mittelwertsatzes den verallgemeinerten Mittelwertsatz anwendet, der folgendermaßen lautet:
Sind und auf stetig und auf differenzierbar, so gibt es eine Stelle , sodass gilt:

.

Ist sogar für alle , so ist wegen des (normalen) Mittelwertsatzes auch und somit

.

Setzt man



und



für , wobei für und für ist, dann erfüllen und in beiden Fällen die Voraussetzungen des verallgemeinerten Mittelwertsatzes. Wegen , falls im Innern von liegt, gibt es also ein ("echt") zwischen und , sodass







und wegen der ersten Aussage, die du bewiesen hast, geht letzteres gegen (denn für geht auch ).
Em'A'Ce Auf diesen Beitrag antworten »

Thx für die Vorschläge.
Problem ist folgendes:
Wir haben bisher weder den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung noch die Regel von l'Hospital bewiesen. d.h. ich darf die nicht verwenden, wenn ich sie nicht vorher selber beweise.
Daher meine Frage:
Gibt es einen kleinen einfachen Beweis für einen der og Sätze oder hat noch einer ne ganz andere Idee, das Problem zu lösen?

Im Voraus wieder vielen Dank
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann haben ja die beiden schönen Ideen doch nichts gebracht unglücklich
Den (verallgemeinerten) Mittelwertsatz der Differentialrechnung für diese Aufgabe zu beweisen, ist sicherlich einerseits etwas hochtrabend und andererseits ganz bestimmt auch nicht das Ziel des Aufgabenstellers, auch wenn es nicht falsch wäre.

Ich denke nochmal über eine andere Lösung nach ...
 
 
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