Exponentialfunktion

01.02.2005, 17:58

SOA

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Exponentialfunktion

Hallo,

habe von Exponentialfunktionen keinen blassen Schimmer.

Nun folgende Aufgabe:

Es soll die Fläche zwischen dem Schnittpunkt und dem unendlichen berechnet werden:

f(x) = exp(-3x) und g(x) = exp(-2x)

Also zunächst einmal den Schnittpunkt berechnen:

g(x) = f(x)

0 = exp (-3x) - exp (-2x)

0 = exp (-x)

Nun verließen sie ihn schon...

Habe mir das Tutorial über Exponentialfunktionen bereits angesehen.
Kann mir jemand helfen. Das wäre super.

Grüsse
SOA

01.02.2005, 18:04

BraiNFrosT

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RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von SOA

g(x) = f(x)

0 = exp (-3x) - exp (-2x)

0 = exp (-x)

Argh, bitte nicht : )

$\begin{eqnarray*} 0=e^{-3x} - e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Du kannst die Exponenten nicht zusammenfassen.

Null kommt raus wenn beide Exponenten gleich sind.

Also vergleich sie mal.

01.02.2005, 18:04

Seimon

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RE: Exponentialfunktion
setz mal an f(x)=g(x) und dann logarithmier auf beiden Seiten!

01.02.2005, 18:10

iammrvip

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Warum so komplziert? Nach dem Gleichsetzen musst du einfach einen Exponentenvergleich machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

01.02.2005, 18:46

SOA

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Ok....das sieht nicht gut aus ..
Leider fehlen mir die entsprechenden Kenntnisse, um einen entsprechenden Vergleich durchzuführen.

unglücklich

unglücklich

Also ln x ist die Umkehrfunktion von e^x

Mehr gibt mein Buch net her.....

Wenn ich ein Beispiel hätte, dann könnte ich das umsetzen..
Das wäre echt Klasse.

Grüße
SOA

01.02.2005, 18:48

iammrvip

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Dazu brauchst du keine Kenntnisse:

$\begin{eqnarray*} \mathrm e^x := {\rm exp}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {\rm exp}(-3x) = {\rm exp}(-2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-3x} = \mathrm e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Da die Basen gleich sind, kannst du die Exponenten vergleichen:

$\begin{eqnarray*} -3x = -2x \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung musst du jetzt einfach nach x auflösen Freude

Freude

.

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02.02.2005, 10:20

SOA

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Ok, das war ja doch net so schwer.

Jetzt habeich ja nun meine Grenzen 0 bis unendlich...

Nun also

F(x) = g(x) - f(x)

= e ^-2x - e^-3x

F(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~\frac{-x}{2} e^ -2x +\frac{x}{3} e^ -3x + c ~dx \end{eqnarray*}$

ist die Ableitung so richtig???

Wie muss man da jetzt weiter verfahren???

Sorry, ist das erste Mal, dass ich mich mit e-Funktionen auseinandersetze.

02.02.2005, 10:22

SOA

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oh, das soll natürlich e^-2x und e^-3x heißen

02.02.2005, 10:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von SOA
F(x) = g(x) - f(x)
= e ^-2x - e^-3x

F(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~\frac{-x}{2} e^ -2x +\frac{x}{3} e^ -3x + c ~dx \end{eqnarray*}$

ist die Ableitung so richtig???

was soll nun F(x) sein? verwirrt

verwirrt

F(x) = g(x) - f(x) = e ^(-2x) - e^(-3x) oder dieses tolle Integral, das letztlich nicht mehr von x abhängt und wo man auch nicht weiß, wie du drauf gekommen bist. Und was soll das Gerede von der Ableitung? Gesucht ist doch wohl eine Stammfunktion von e ^(-2x) - e^(-3x), und die ist gar nicht so kompliziert, wie du denkst.

02.02.2005, 11:07

SOA

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Entschuldige bitte meine Wortwahl.
Ich meinte natürlich Stammfunktion und nicht Ableitung.

Ich weiß nur, dass die Stammfunktion von e^x e^x ist.

aber bei f(x) = e^-ax weiß ich es nicht so genau.

Mein Papula gibt dazu leider kein passendes Beispiel.

F(x) = e ^-2x - e^-3x

= - 1/2 * e^-2x + 1/3 * e^-3x

Wenn das so stimmt, wie löse ich das dann auf??

Logarithmieren??

Grüße
SOA

02.02.2005, 11:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von SOA
F(x) = e ^-2x - e^-3x

= - 1/2 * e^-2x + 1/3 * e^-3x

Wenn das so stimmt, wie löse ich das dann auf??

auch hier stellt sich die Frage, was du eigentlich meinst? verwirrt

verwirrt

Wie man leicht sieht, sind die Terme in diesen Zeilen nicht gleich, also darf da auch kein Gleichheitszeichen stehen. Mit etwas Phantasie kann man drauf kommen, daß in der 2. Zeile eine Stammfunktion von der 1. Zeile steht. Was willst du jetzt noch auflösen? verwirrt

verwirrt

Du hast jetzt eine Stammfunktion und kannst das uneigentliche Integral berechnen.

02.02.2005, 12:14

SOA

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F(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~-\frac{1}{2}e^-2x + \frac{1}{3}e^-3x ~dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} [ - \frac{1}{2} e^-2 * \infty + \frac{1}{3} e^-3 * \infty] \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} e^-2 * \infty \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^- \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^- \infty \end{eqnarray*}$ = 0

also ist die Fläche = 0

Kommt das so hin??

02.02.2005, 12:49

klarsoweit

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also bei uneigentlichen Integralen berechnet man erstmal
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b }~-\frac{1}{2}e^-2x + \frac{1}{3}e^-3x ~dx \end{eqnarray*}$
und läßt dann das b gegen unendlich laufen. Also setze erstmal die obere und untere Grenze in die Stammfunktion ein. Was kommt dann raus? Anschließend das b gegen unendlich laufen lassen.

02.02.2005, 13:32

SOA

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b}~- \frac{1}{2}e^-2b + \frac{1}{3}e^-3b~dx \end{eqnarray*}$

F(b) $\begin{eqnarray*} \lim_{b\to \infty } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{b\to \infty } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b}~- \frac{1}{2}e^-2b + \frac{1}{3}e^-3b~ \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

ich glaube das heißt dann divergent...

Also ist die Fläche unendlich.

02.02.2005, 13:45

Seimon

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Zitat:

Original von SOA
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b}~- \frac{1}{2}e^{-2b} + \frac{1}{3}e^{-3b}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-3x} \end{eqnarray*}$ ist doch die Stammfunktion!

--> Grenzen einsetzten! $\begin{eqnarray*} [ -\frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-3x}]_{0}^b \end{eqnarray*}$

PS: Die Fläche ist eine Zahl zwischen 0 und 1 smile

smile

02.02.2005, 14:00

klarsoweit

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hoppla! Da hast du mir in dem Integral die Stammfunktion untergejubelt und ich habs nicht gemerkt. Hammer

Hammer

Also Korrektur von meinem vorangegangenen Beitrag. Dieses Integral ist erstmal zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{b }~e^{-2x} - e^{-3x} ~dx \end{eqnarray*}$
alles weitere steht bei Seimon.

02.02.2005, 17:48

SOA

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Hammer

Hammer

also erst einmal vielen Dank für eure Bemühungen.
Jetzt kann ich immerhin schon bequem die Grenzen bestimmen und eine
Stammfunktion bilden, weiß das ich über ein endliches Intervall integrieren muss.

Das gibt ja schon einmal 1, 2 Punkte....

Kann es sein das die gesuchte Fläche 1/6 beträgt???
Bin wirklich zu blöd für diese Aufgabe...
Hammer

Hammer

02.02.2005, 22:48

Seimon

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Zitat:

Original von SOA
Kann es sein das die gesuchte Fläche 1/6 beträgt???

Stimmt!

Tanzen

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