Matrix diagonalisierbar

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Ronny Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix diagonalisierbar
Hallo, kennt ihr Dinge, an welchen ich sehen kann, ob eine Matrix

diagonalisierbar ist / oder auf keinen Fall diagonalisierbar ist.

Alles woran man sowas schnell ausmachen kann meine ich. Es geht um den Multipel choice Teil bei einer anstehenden Klausur. Danke !!!
dast Auf diesen Beitrag antworten »

Was heisst bitte diagonalisierbar?
 
 
Seimon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix diagonalisierbar
Wenn alle Eigenvektoren linear unabhängig sind!
Schnell ausmachen kann mans schätz ich nur bei Sonderfällen!
Z.b: Alle Symmetrischen Matrizen sind Diagonalisierbar!

Bin ma aber ned 100% sicher, bitte um bestätigung oder Forum Kloppe

Big Laugh
Ronny Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, genau so was meinte ich. Denke auch es müsste stimmen
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn alle Eigenvektoren linear unabhängig sind!


Besser: Die Matrix ist diagonalisierbar, wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Also muss eine Basis aus Eigenvektoren haben.
Soweit ich das in Erinnerung habe gibt es nämlich unendlich viele Eigenvektoren aber verschiedene Eigenräume, die durch die EV aufgespannt werden.

Daraus folgt auch: Eine Matrix mit n verschiedenen Eigenverten ist diagonalisierbar. (Denn Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind l.u.)

Dann gibt es den Satz:
Zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren und ist zu jedem Eigenwert die arithmetische gleich der geometrischen Vielfachheit, dann ist die Matrix diagonalisierbar.


Zuletzt:
M ist diagonalisierbar, wenn es eine Matrix A gibt, so dass:



Mehr fällt mir nicht ein.
Schnikschnak_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

eine matrix ist dann diagonalisierbar wenn das charakteristische polynom reell zerfällt und die algebraische = geometrische Vielfachheit ist
(genauso im komplexen)

als ergänzung:
trigonalierbar ist wenn das charakteristische polynom reell zerfällt und die algebraische != geometrische Vielfachheit ist
T^-1 * A * T = J
wobei J jordannormalform ist.


Gruss

@moderatoren: irgendwie bleibt mein eingeloggter zustand nicht erhalten wenn ich mich eingeloggt habe.
an welche einstellung kann das liegen?
Login: Schnikschnak
matze2002 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix diagonalisierbar
diaganilisierbar => invertierbar=>voller rang=>regulär=>det A=/ 0.... mhh mehr fällt mir erstmal nicht ein...
vlt nachher ich denk nochmal drüber nach
Seimon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix diagonalisierbar
Zitat:
Original von matze2002
diagonalisierbar => invertierbar


hmmm die Matrix ist doch diagonalisierbar aber nicht invertierbar!

Allgemein: eine Matrix mit Eigenwert 0 kann man doch Diagonalisieren, oder?
matze2002 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix diagonalisierbar
wieso ist deine matrix diagonalisierbar ???
kannst mir das mal erklären?
kannst du die auf zeilenstufenform bringen?
oder oberedreiecksgestallt?
Seimon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix diagonalisierbar
Die Matrix ist bereits Diagonal!
Die Eigenwerte sind 1 und 0, die Eigenvektoren sind die Einheitsvektoren und die Transformations Matrix zum Diagonalisieren ist damit die Einheitsmatrix!
matze2002 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix diagonalisierbar
aehm die einheitsmatrix sieht für mich aber so aus....


ist das richtig das bei bir an der stelle a22 eine 0 steht?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das meinte er nicht, er meint, die matrix sei bereits in diagonalform.
eine matrix M ist diagonalisierbar, wenn es eine matrix A gibt, sodass A^-1*M*A diagonal ist. A ist hier dann die einheitsmatrix (denn M ist bereits diagonal)

bin mir übrigens nicht sicher, ob das stimmt, dass auf der diagonalen nuller stehen dürfen, aber laut meinem LA-Skript scheints zu stimmen....
matze2002 Auf diesen Beitrag antworten »

das frage ich mich auch... also ich mein das darf nicht, bin mir aber auch nicht zu hundert prozent sicher...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Matrix heißt Diagonalmatrix, wenn außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen. Was auf der Hauptdiagonalen steht, ist in dem Zusammenhang völlig egal! So ist die Nullmatrix z.B. auch diagonal.

Wenn es aber eine invertierbare Diagonalmatrix sein soll, dann dürfen da in der Tat keine Nullen stehen - vielleicht hast du das damit verwechselt.
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde noch das hinreichende (aber nicht notwendige) Kriterium:
alle Eigenwerte sind verschieden, also treten nur mit Vielfachheit 1 auf
angeben. Das ist nur ein Spezialfall von dem algebraische = geometrische Vielfachheit.
MaggotManson Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Eine Matrix heißt Diagonalmatrix, wenn außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen. Was auf der Hauptdiagonalen steht, ist in dem Zusammenhang völlig egal! So ist die Nullmatrix z.B. auch diagonal.


Moin

Wenn ich die Matrix habe, kann ich diese durch Umformungen auf die Matrix bringen, zumindest, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Ist dann nur B', oder auch B eine Diagonalmatrix?



Tut mir Leid, dass ich dafür diesen Strang wieder nach oben hole, aber ich dachte mir, dafür muss ich keinen neuen eröffnen. Wenn das doch besser gewesen wäre, bitte verschieben.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mich schon zitierst, dann wende es auch an: B' ist Diagonalmatrix, B aber nicht.

Du darfst Diagonalmatrix nicht mit diagonalisierbarer Matrix verwechseln. unglücklich
MaggotManson Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Hab ich mir schon gedacht bzw. befürchtet. Mein Problem ist nämlich, das ich bei einer Aufgabe eine Diagonalmatrix herausbekommen soll, aber ich komme immer auf B. Hab auch schon ein paar Mal nachgerechnet, aber ich finde den Fehler nicht. Und dann hab ich gehofft, dass ich sie vielleicht umformen darf.
Und weil das so schön mit 1, 2, 2 herauskam, (dies sind nämlich die Eigenwerte der Ausgangsmatrix), fand ich das als Strohhalm gar nicht so schlecht.

(Wie ich gerade sehe, ist es auch gar nicht 1, sondern -1. Muss ich wohl morgen nochmal von vorne machen.)
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