Wegintegral

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-Mischka- Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegral
Gegeben ist das Vektorfeld mit . Berechnen sie das Kurvenintegral

längs des skizzierten Weges von O (0|0) über P(1|1) und Q(0|2) nach O(0|0).


Nun ist die Sache die, dass ich als Schüler keine Ahnung hab, wie ich an die Aufgabe ran gehen soll, und von daher leider auch keinen Lösungsansatz habe. Das übersteigt das Schülerwissen des LKs leider traurig

PS: Die Koordinaten hab ich selbst ausgerechnet, die waren nicht gegeben. Ich hab sie angegeben, weil ich keine Möglichkeit fand, Punkte in den Plotter einzugeben. Geht das iwie?
integralschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Das machst du einfach so: Du führst das Skalarprodukt der Vektoren:

und
durch. Es gilt allgemein:

Und dann führst du ganz normale Integralrechnung aus: Integriere zuerst nach y, wobei du x als konstant betrachtest. Und dann setzst du die y-Koordinate ein. Zuletzt nach x integrieren und x-Koordinaten einsetzen. Dabei ist das was nach "von" steht die untere Integralgrenze und das was "nach" steht die obere. Und du musst beide Integrale addieren. (x-Koordinate|y-Koordinate)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hör nicht auf integralschoki. Würde mich mal interessieren, wie er das macht. Big Laugh

Mach es so: Parametrisiere zuerst jede der drei Kurven. Nenne die Parametrisierungen Gamma_1, Gamma_2 und Gamma_3. Dann ist



Die erste Parametrisierung könnte wie folgt lauten:



Jedes einzelne Integral berechnest du dann wie folgt (j=1,2,3):



Dabei ist <.,.> das Standard-Skalarprodukt.

EDIT: Achso, die Integrationsgrenzen hängen von der Parametrisierung ab. Im Fall von meinem oben angegebenen Gamma_1 wären das a = 0 und b = 1.

EDIT2: Zu dem Thema siehe auch mein kleines Skript für Ings "Integration leicht gemacht", welches man auf meiner Homepage www.webfritzi.de.vu findet.
Chris2005 Auf diesen Beitrag antworten »

würd mich interessieren, wieso 3 Kurven, ich seh da nur 2 (Wurzel und 2-x)

aber der rechenweg ist der richtige...

mfg chris
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

x = 0
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Hintergrund (für Fortgeschrittene):

Die Differentialform



ist geschlossen; denn es gilt



Wenn man sie daher über die geschlossene Kurve integriert, verschwindet das Integral und die Rechnung vereinfacht sich zu



Ist der von berandete Bereich: , so gilt mit



nach dem Satz von Stokes



Der Wert des Integrals ist also nichts anderes als der Flächeninhalt von . Den könnte man berechnen, indem man vom Inhalt des Trapezes mit den Ecken den Flächeninhalt unter dem Graphen der Wurzelfunktion über dem Intervall subtrahiert.
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bä! Differentialformen habe ich noch nie gemocht. Pfui! Kotzen

Aber eindrucksvoll, wie einfach es doch gehen kann. Gott
-Mischka- Auf diesen Beitrag antworten »

war im Urlaub, jetzt bin ich wieder da, und habe noch immer das gleiche Problem.
Ich weiß, dass es hier eig. keine Komplettlsg gepostet werden sollen. Kann mir dennoch jmd. mal eine posten? Dann seh ich, wie man das richtig mit Zahlen und Funktionen eingesetzt rechnet. Oder anderer Vorschlag: Kann jmd. eine ähnliche Aufgabe, mit Zahlen mal vorrechnen? Dann ist hier keine Komplettlsg. Ich versteh vorgerechnetes am besten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man die Aufgabe mit Differentialformen und dem Satz von Stokes lösen kann, habe ich dir schon gesagt. Falls du mit diesen Dingen nicht vertraut bist, mußt du ein Kurvenintegral berechnen.

Die Kurve setzt sich aus drei Stücken zusammen:

dem Parabelbogen von nach ,
der Strecke von nach und
der Strecke von zurück nach .

Man schreibt das formal so:



Was ist nun der Integrand? Es steht ja für (ich verwende die Zeilenschreibweise für Vektoren). Du mußt nun in die Multiplikation als formales Skalarprodukt auffassen. Dabei ist durch zu ersetzen. Das sieht also so aus:



Nach den Regeln für Kurvenintegrale berechnet man die Integrale über die drei Kurvenstücke einzeln und addiert dann die drei Werte. Für führe ich das einmal vor. Zu berechnen ist also



Jetzt braucht man eine Parametrisierung für . Wenn wie hier das Kurvenstück Teil eines Funktionsgraphen ist, kann man für selbst einen Parameter einführen. Eine Parametrisierung lautet also



Sorgfalt ist darauf zu verwenden, daß die Kurve in der korrekten Richtung durchlaufen wird. Dazu geht man das Parameterintervall von links nach rechts (!) durch. Für erhält man , für dann . Die Richtung stimmt also nach Aufgabenstellung. (Sollte einmal die Richtung gerade verkehrt herum sein, kann man das Problem auf drei Arten lösen: Entweder führt man eine Umparametrisierung durch oder man vertauscht am Integral die Integrationsgrenzen oder, was ich meist bevorzuge, man bringt vor dem Integral ein Minuszeichen an.)

Im Integranden mußt du jetzt durch die -Terme der Parametrisierung ersetzen, aber auch und . Das geht wie bei der Substitutionsregel für gewöhnliche reelle Integrale. Hier wäre das



Und die Integrationsgrenzen sind die Grenzen des Parameterintervalls. Du bekommst daher





Und entsprechend mußt du mit Hilfe geeigneter Parametrisierungen auch über die beiden anderen Stücke integrieren und die drei Integralwerte zum Schluß addieren.
tensor07 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegral ?!?
Hallo Mischka

Hier genügt es, die Definition von Wegintegral und einige Integrationsregeln zu kennen.

Das Wegintegral eines integrierbares Vektorfelds entlang einer stetig differenzierbaren Kurve ist definiert als



und diese Definition ist unabhängig von der Parametrisierung von (nach der Substitutionsregel). Man muss nur aufpassen, dass die Richtung muss erhalten bleibt; jede Kurve hat nämlich eine zugehörige Orientierung (daher die Schreibweise ). In diesem fall besteht das Wegintegral aus drei glatten Kurven, man soll also drei Integrale berechnen, wie Leopold erklärt hat.

Da die Parametrisierung von unwichtig ist, schreibt man oft (abstrakt) so etwas wie



Z.B. berechnet sich das Integral entlang der grünen Strecke - parametrisiert etwa durch




- als





(letzteres Schritt ohne Gewähr).

Gruss

EDIT von Calvin
Zeilenumbruch in LaTeX eingefügt
-Mischka- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegral ?!?
Dumme Frage:

wie parametrisiere ich x=0?

x=0t
y=???
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die von tensor07 angegebene Parametrisierung von :



definiert die korrekte Richtung ( liefert ; und liefert ) - es geht also nach oben! Alternativ könntest du auch folgendermaßen parametrisieren



Für bekommst du dieses Mal ; für dagegen - hier geht es also abwärts, d.h. in die falsche Richtung! Wenn du noch ein Minuszeichen vor das gesamte Integral setzt, wird der Fehler wiedergutgemacht.

Und nun zu . Nach Aufgabenstellung geht es hier abwärts. Gehen wir zunächst in die falsche Richtung, also aufwärts. Wir starten also bei (0;0) und enden in (0;2). Vom Startbahnhof zum Endbahnhof passieren wir weitere Stationen, beispielhaft

(0;0) -> (0;0,17) -> (0;0,873) -> (0;1,428) -> (0;1,91) -> (0;2)

Und wie du bereits festgestellt hast, ist für alle Punkte ( ist also von unabhängig - was stört es!). Und jetzt beschreibe allgemein mit Hilfe eines Parameters und gib das zugehörige Intervall an, das dabei durchlaufen wird. Es ist denkbar einfach.

Und zum Schluß mußt du die falsche Orientierung durch ein Minuszeichen vor dem Integral korrigieren.

(Wenn du aber schließlich das Integral berechnest, wirst du feststellen, daß es fast egal ist, welchen Ansatz du für machst, weil wegen sowieso alles verschwindet.)
tensor07 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegintegral ?!?
Zitat:
Original von -Mischka-
wie parametrisiere ich x=0?

x=0t
y=???


Einzelne Punkte musst du nicht parametrisieren, sondern nur Strecken. Bezüglich Linien (eindimensional) sind Punkte sogenannte "Nullmengen" (da nulldimensional), kommen also in der Berechnung des Wegintegrals nicht in Frage.

EDIT: Falsch verstanden. Ich dachte, du meintest den Nullpunkt, und wie man einen Punkt integriert Hammer

Die Gerade kannst du parametrisieren, indem du ein nimmst, mit den Eigenschaften




Zu viel Freiheit hat Nebenwirkungen Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tensor07
sogenannte "Nullmengen" (da nulldimensional)


Erstens ist es hier völlig unerheblich, dass die Streckenzüge Nullmengen sind, und zweitens ist deine Erklärung für den Begriff "Nullmenge" falsch. Mit Dimension hat das in keinster Weise zu tun. Eine Strecke würde ich auch eher als eindimensional betrachten...
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