Kurze Frage zu komplexen Zahlen

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Filewalker Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Frage zu komplexen Zahlen
Hi,
hab mich mal spaßeshalber über komplexe Zahlen informieren wollen, check aber nicht warum
(0,1)² = (0,1) * (0,1) = ( - 1,0) = - 1
wieso wird bei dieser Multiplikation der imaginäre Teil 0 und der reale Teil -1.

Wäre nett, wenns jemand kurz erläutern könnte.

Gruß Lukas
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ist mit (0,1) i gemeint?

Dann sieht doch das ganze so aus:

i² = -1

Wahrscheinlich nur ein Zahlendreher in der vorletzten Rechnung.
 
 
Filewalker Auf diesen Beitrag antworten »

(0,1) ist i gemeint, aber wieso ist i² = -1?
wurde das einfach so festgelegt und deshalb ist auch (0,1)² = -1.

weil ich hab halt gelesen
(0,1)² = (0,1) * (0,1) = ( - 1,0) = - 1

und mich gefragt, warum (0,1)*(0,1) = i*i = i² = -1 ?

kannst du mir vielleicht auch in dem zusammenhang die eulersche identität erklären (weiß ja jetzt nicht wieviel aufwand das macht, aber mich interessiert sowas einfach).
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke mal (0,1) bezeichnet real- und imaginärteil einer komplexen zahl, also hier re = 0 und im = 1*i
und ja, i²=-1 wurde einfach so festgelegt.

und die eulersche identität:
cos(z)+i*sin(z) = e^(i*z),
wobei cos(z)+i*sin(z) einfach eine komplexe zahl in polarkoordinatenform wiedergibt.
ich such mal eben eine seite raus, wo zwei beweise über die eulersche identität geführt werden...
hier ist er: http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/epii.html
Gockel Auf diesen Beitrag antworten »

Das tolle an i ist, es ist so definiert, dass i^2=-1 ist. Das ist ein Axoim in den komplexen Zahlen.
Filewalker Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann bin ich ja beruhigt, sonst hätte ichs net gecheckt, wie man dann auf -1 kommt.

hatte gedacht das e^(i*pi) +1 = 0 sei die eulersche identität, oder war das was anderes?
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Filewalker
hatte gedacht das e^(i*pi) +1 = 0 sei die eulersche identität, oder war das was anderes?

genau das kommt auch raus, wenn mni der gleichung von mir z=pi setzt Augenzwinkern
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung kannst du verstehen, wenn du dir die Definition der Multiplikation in C anschaust und eine Zahl der Form (x,0) mit der reellen Zahl x identifizierst.
Die Multiplikation ist ja definiert über
(x,y)(u,v):=(xu-yv,xv+yu)
Wenn du hier jetzt (0,1)(0,1) berechnest kommt gerade (-1,0) raus, das ist also nicht so definiert, wie einige hier behaupten, sondern ergibt sich aus der Rechnung.
Filewalker Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für die antworten.
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

@movarian:
ich habe nie behauptet, (0,1)(1,0) sei definiert worden! er hat doch nur nach dem i gefragtr, und dabei habe ich gesagt, dass i²:=-1 deniniert wurde, sonst nichts! X(
lukian Auf diesen Beitrag antworten »

und genau das ist ja gerade falsch. Die Aussage i²=-1 ergibt sich aus der Definition der Multiplikation in C.
Denn
(0,1)(0,1)=(0*0-1*1,0*1+1*0)=(-1,0)
Das ist also kein Axiom der komplexen Zahlen und wurde auch nicht "einfach so festgelegt".

gruss
luk
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch alles kleinkariert. Für die Mathe spielt es doch keine Rolle was definiert wurde und was daraus folgt, wenn die Rechnungen auf der Algebra gleich sind.
Ich habe zwei Definitionen für komplexe Zahlen gefunden, die beide im Prinzip äquivalent sind. Was zuerst kommt ist jedes mal anders.

Bronstein:

1.5.1 Imaginäre und komplexe Zahlen

1.5.1.1 Imaginäre Einheit
Als imaginäre Einheit wird eine Zahl i eingeführt, deren Quadrat "-1" ist..

1.5.1.2 Komplexe Zahlen
Die algebraische Form einer komplexen Zahl lautet z = a + ib...

Demnach wird i also "zuerst" definiert.

Im Repetitorium der höheren Mathematik kommt es andersrum und i folgt aus der Algebra.

Unter dem Zahlenkörper der komplexen Zahlen |C versteht man die Menge der Elemente von |R², also die Menge der Zahlenpaare (a,b), wobei a und b reelle Zahlen sind, mit folgenden Rechenoperationen:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) gewöhnliche Vektoraddition
(a,b) * (c,d) = (ac-bd,ad+bc) komplexe Multiplikation
Das Element i := (0,1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt i²=(0,1)(0,1)=(-1,0)

Jetzt alles klar?
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lukian
und genau das ist ja gerade falsch. Die Aussage i²=-1 ergibt sich aus der Definition der Multiplikation in C.

hä, ich würde mal sagen das ist genau anders herum. das axiom der komplexen zahlen ist i²:=-1, und daraus ergibt sich die form der multiplikation:

(a+ib)(x+iy) = ax+iay+ibx+i²by = ax-by+i(ay+bx)
BigSchnidde Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

passt vielleicht nicht hier rein aber was versteht man unter imaginaeren und realen Anteil?

MFG,
Big
lukian Auf diesen Beitrag antworten »

Eine komplexe Zahl z=(a,b) lässt sich auch schreiben als z=a+ib, wobei a als Realteil und b als Imaginärteil bezeichnet wird. Die Schreibweise ergibt sich folgendermaßen:
z=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi,
denn in C ist (1,0) das Einselement und (0,1) =: i.

tschüs
luk
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Definitionen sind äquivalent.
Also entweder das eine definieren und das andere folgern oder umgekehrt...

Gruß vom Ben
Gockel Auf diesen Beitrag antworten »

Da stimme ich dir zu. Aus historischer Sicht ist aber zuerst i definiert worden und dann eine Multiplikation, die damit verträglich ist.
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ob nun (0,1)*(0,1) = -1 Definition ist oder nicht kommt darauf an, wie man an die komplexen Zahlen herangeht.

Das eine wie schon besprochen ist der Hintergrund, dass man eine Körpererweiterung der reellen Zahlen vornimmt, um die Gleichung:

x² = -1

lösen zu können. Draus resultiert die Festlegung, dass i² = -1 ist.

Geht man allerdings an die komplexen Zahlen in Form eines Vektorraumes, so sieht das ganze wieder etwas anders aus. Denn dann folgert sich aus der Def. der Multiplik. und Addition, dass (0,1)*(0,1) = -1 ist.

Also alles eine Frage der Betrachtungsweise!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da stimme ich dir zu. Aus historischer Sicht ist aber zuerst i definiert worden und dann eine Multiplikation, die damit verträglich ist.


Nun ganz so einfach ist oder war das auch nicht, es musste ja immerhin
bei der reelen Projektion mit dem bekannten übereinstimmen und
es musste auch zu was nutzbar sein. Definieren lässt sich viel, nur ob es
dann einen brauchbaren Sinn macht und verträglich ist, ist ein anderes.

Hätte es eine solche 'verträgliche Multiplikation' nicht gegeben wäre aus
der ganzen Sache wohl nichts geworden.

Es ist übrigens nicht so, dass das eine reine Erweiterung des reelen
Zahlenkörpers ist, es geht nämlich auch was verloren dabei.

So ist z.B. a<b nicht mehr sinnvoll definierbar.
Der reele Zahlenkörper ist OHNE Abstriche nicht erweiterbar.
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Poff, du hast natürlich recht! :P
Gockel Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was dein Argument mit dem Vektorraum betrifft: In Vektroräumen gibt es nur Skalarmultiplikationen, keine echten Multiplikationen (Vektor mal Vektor). Für Komplexe Zahlen hiße das: Wenn C ein Vektorraum über R wäre, dann gäbe es nur die Multiplkation eine Komplexen Zahl z mit einer Reelen zahl r. z1*z2 wäre nicht definiert.

@Poff:
Sag ich doch! Man hat i definert und x^2=-1 lösen zu können und hinterher eine Multiplkation erfunden, die mit dem Bekannten (Kommutaqtivität, Assoziativität, Distributivgesetze) übereinstimmt.
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gockel
Sag ich doch! Man hat i definert und x^2=-1 lösen zu können und hinterher eine Multiplkation erfunden, die mit dem Bekannten (Kommutaqtivität, Assoziativität, Distributivgesetze) übereinstimmt.

naja, man hat ja nicht einfach so lange rumprobiert, bis man zufällig eine multiplikation gefunden hatte, die diese gesetze befolgt. :P
die form der multiplikation folgt direkt aus i^2=-1. Augenzwinkern
Gockel Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat ja auch keiner Behauptet, dass man einfach rumprobiert...
koller74 Auf diesen Beitrag antworten »

Da diese "kurze" Frage zu den Komplexen Zahlen ja doch einige weitere Fragen aufgeworfen hat, möchte ich hier auch etwas zur Klärung beitragen.

Hier eine kurze geschichtliche Zusammenfassung über i und die komplexen Zahlen:

Im 16. Jahrhundert beschäftigten sich italiensche Mathematiker mit Gleichungen der Form x^3 + px + q = 0.Geronimo Cardano veröffentlichte eine Lösung (die er angeblich einem anderen Mathematiker geklaut hat):



Diese Gleichung ist anscheinend nur lösbar, wenn gilt. Cardano und ein weiterer Italiener (Raffaele Bombelli) rechneten jedoch mit wie mit andern rationalen Zahlen auch. Es zeigt sich, dass man hiermit durchaus auf Lösungen für die obige Gleichung dritten Grades kommt, da sich die negativen Wurzeln im lauf der Rechnung aufheben.

Die Bezeichnung i für wurde 1777 von Leonhard Euler eingeführt. Aber auch dieser grosse Mathematiker betrachtete die imaginären Zahlen eher als notwendiges Übel, denn als "richtige" Zahlen.

Carl Friedrich Gauss führt den Begriff der Komplexen Zahlen ein und entwickelt die geometrische Darstellung (Gauss´sche Zahlenebene, mit a+bi).

Die eigentliche Definition der Komplexen Zahlen und deren Rechenregeln erfolgt erst im Jahr 1835 durch den Mathematiker Sir William Hamilton.
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es denn nicht falsch zu sagen i = Sqrt(-1) ??? Es ist nur definiert, dass das Quadrat von i -1 ergibt. Das heißt noch lange nicht, dass es Sqrt(-1) ist.
koller74 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wollte ich eigentlich zur Klärung des ganzen beitragen, schon ergeben sich wieder neue Probleme. Augenzwinkern

@Mathefreak:Gute Frage, habe den geschichtlichen Überblick aus einem Roman (Denis Guedj: "Das Theorem des Papageis; Geschichte der Mathematik in eine Detektivgeschichte/Krimi verpackt; liest sich echt gut). Habe dann noch ein bisschen im Netz gegoogelt um weiter Infos zu finden. Euler hat wohl tatsächlich i als Wurzel aus -1 definiert. Obwohl (-sqrt(-1))^2 ja auch i^2 ergeben müsste.

Grüsse, Koller.
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

@koller74: Guter Beitrag.. :]
@Mathefreak: Mehr oder weniger heißt es das schon (i=sqrt(-1)): ? Vorzeichen ist halt Konvention Augenzwinkern
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hm...
wir haben das mal mit unserem Mathelehrer besprochen und er meinte, das wäre nicht ganz korrekt, denn das führt zu folgendem Widerspruch:


falls

mfg
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal das - eingefügt, das bei dem Widerspruch am Ende sicher stehen sollte Augenzwinkern

Gruß,
Thomas
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe:

http://www.mathe-online.at/tests/komplex/widerspruch.html
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

@Steve_FL: Der Fehler kommt imo daher, dass beim Quadrieren und Wurzelkram die Vorzeichen ot kaputt gehen. So könntest du z.B. auch zeigen 4 = (-2)^2, 2 = -2.. Augenzwinkern Wenn man damit leben kann läßt es sich mit i = sqrt(-1) gut leben.. smile
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hm...könnte sein...
mein Lehrer meinte nur, dass man bei einem bestimmten Level (wenn man viel mit Komplexen Zahlen rechnet) halt Probleme kriegt wenn man sagt:


mfg
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