Unendlich oft differenzierbare Funktion mit konstantem Abschnitt

01.02.2005, 22:35

Mathespezialschüler

Unendlich oft differenzierbare Funktion mit konstantem Abschnitt

Wir sind heut im Unterricht komischerweise auf Funktionen mit konstanten Abschnitten gekommen, also z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^2 & \mbox{für } x<0 \\ 0 & \mbox{für } 0\leq x\leq 1 \\ (x-1)^2, & \mbox{für } x>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann hat mein Lehrer gesagt, es sei gar nicht so einfach, eine Funktion zu finden, die auf einem Abschnitt konstant ist (sonst aber nicht) und die unendlich oft differenzierbar ist.
Wenn man solche Funktionen, wie die da oben nimmt, nur halt anstelle der Quadratfunktion Polynome, dann klappt das nicht mit unendlich oft differenzierbar. Die obige Funktion ist nur einmal differenzierbar auf R und bei Polynomen würde sie ebenfalls spätestens nicht mehr auf R differenzierbar sein, wenn man das Polynom bis auf eine lineare Funktion "herunterdifferenziert" hat.

Und da mein Lehrer sagte, es sei nicht so einfach, eine solche Funktion zu finden, würd ich gern mal solch eine sehen. Kennt jemand eine?

Danke.

01.02.2005, 22:44

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RE: Unendlich oft differenzierbare Funktion mit konstantem Abschnitt
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\frac{1}{x-1}} & x>1\\0 & 0\leq x\leq 1\\e^{\frac{1}{x}} & x<0\end{array} \right. \end{eqnarray*}$

01.02.2005, 23:27

Leopold

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Über Funktionen, die sich um jeden Punkt in eine Taylorreihe entwickeln lassen (sogenannte analytische oder holomorphe Funktionen) gilt der Satz, daß eine solche schon konstant 0 sein muß, wenn sie unendlich viele Nullstellen hat, die sich in einem Punkt des Definitionsbereichs häufen.

Somit kann die Funktion von A.D. nicht analytisch sein.

Das ist hier auch leicht direkt zu sehen. Man kann durch Induktion nachweisen, daß alle Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle 0 verschwinden. Die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ stellt somit die Nullfunktion dar. Damit stimmt sie aber nicht mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überein, wie klein auch immer man die Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wählen mag, denn links von 0 ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht die Nullfunktion.

02.02.2005, 18:58

Mathespezialschüler

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@Leopold
Was heißt A.D.? verwirrt

Stimmt es, dass auch die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{|x|}} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

nicht analytisch ist? Und dann müsste ja jede Funktion, für die alle Ableitungen an mind. einer Stelle verschwinden, nicht in eine Taylorreihe entwickelbar sein oder?

Wenn ich mir das recht überlege, dann bezeichnet man also z.B. den Logarithmus und Funktionen wie $\begin{eqnarray*} f(x)=(1+x)^{\alpha} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ nicht als analytisch!??? verwirrt

02.02.2005, 20:10

Leopold

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A.D. = na, welches MatheBoard-Mitglied ist wohl gemeint?

Ich weiß nicht, ob deine Funktion einen Schreibfehler enthält. Aber so, wie sie da steht, ist sie an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ untstetig, einmal ganz abgesehen von dem offensichtlichen Schreibfehler $\begin{eqnarray*} f(n) \end{eqnarray*}$ .

In der Tat ist jede Funktion, für die alle Ableitungen an einer Stelle verschwinden, nicht analytisch, außer es handelt sich um die Nullfunktion selbst.

Die von dir weiter genannten Funktionen sind jedoch analytisch, denn sie lassen sich um jeden inneren Punkt ihres Definitionsbereichs in eine Taylorreihe entwickeln.

Den tieferen Sinn der Sache versteht man erst im Zusammenhang mit der komplexen Funktionentheorie.

02.02.2005, 20:23

Mathespezialschüler

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Ja, hab mich verschrieben. Habs jetzt verbessert.
Ich dachte, A.D. sei eine Abkürzung für irgendeine Redewendung oder Ähnliches. Hammer

Zitat:

Original von Leopold
Die von dir weiter genannten Funktionen sind jedoch analytisch, denn sie lassen sich um jeden inneren Punkt ihres Definitionsbereichs in eine Taylorreihe entwickeln.

Ach, sorum ist das gemeint: Ich dachte, du meintest es so, dass, wenn man f in einem Punkt in eine Taylorreihe entwickelt hat, diese Taylorreihe für alle x konvergieren muss. Hab mich schon gewundert, warum die nicht analytisch sein sollten. Hammer

02.02.2005, 22:01

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-0} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$

Vielleicht willst du ja auf

$\begin{eqnarray*} f(x) = \operatorname{e}^{-\frac{1}{|x|}} \end{eqnarray*}$

mit stetiger Ergänzung bei 0 hinaus?

02.02.2005, 22:08

Frooke

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@Leopold

Kann man nicht einfach eine Funktion definieren, die für alle x, die ungleich null sind gleich der natürlichen Exponentialfunktion ist, und in 0 den Wert 1 zugewiesen bekommt? Damit ist sie doch unendlich oft differenzierbar und bleibt analytisch... Natürlich ist sie im Punkt (0/1) nicht differenzierbar... Müsste sie denn auch auf dem konstanten Abschnitt unendlich oft differenzierbar sein? Wenn ja, dann muss es ja zwangsläufig eine Nullfunktion sein (auf dem konstanten Abschnitt)... oder sehe ich das falsch? verwirrt

02.02.2005, 22:09

Mathespezialschüler

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Och, manno! Heut is nich mein Tag unglücklich

Ja, darauf wollte ich hinaus, danke.

Zitat:

Man kann durch Induktion nachweisen, daß alle Ableitungen von f an der Stelle 0 verschwinden.

Wie denn eigentlich? verwirrt

Zitat:

Was du da definierst, ist ja nichts anderes als die Exponentialfunktion selbst, wenn ich deine Worte richtig verstehe.

02.02.2005, 22:13

Leopold

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So.

02.02.2005, 22:18

Frooke

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@ MSS
Hast schon recht! Ich dachte nur, vielleicht könne man künstlich einen Wert der e-Funktion konstant halten, weil sich durch Ableiten die e-Funktion nicht verändert. Und damit könnte man dein Problem gewissermassen «übertölpeln»... Aber offensichtlich sollte bei dir ein ganzes Intervall konstant sein und nicht nur ein Punkt. In diesem Sinne sorry für das Gelaber! Gott

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