Taylorentwicklung im 2dim

02.02.2005, 16:42	fin007	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorentwicklung im 2dim hi wie löse ich die taylorentwicklung von mehreren variablen. f(x)= x³y-x+y² im punkt (-1,2) wie löst man es allgmein???? die taylorentwicklung im eindim. um den punkt z sieht ja so aus: f(z)+f(1)(z)/1!(x-z)+f(2)(z)/2!(x-z)²+...... f(1):=erste ableitung, f(2):=zweite ableitung im 2dim müsste sie ja ansich ähnlich aussehen... vielen dank im voraus. mfg fin
02.02.2005, 16:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Algebra ist das sicher nich, wenn dann eher Analysis. Ich habs aber mal in HöMa verschoben.
02.02.2005, 17:20	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
da muss man schon bissel unterscheiden. Also kleiner Satz am Anfang sei $\begin{eqnarray} f : D \to R ,D = \{(x,y) \in R^2\} \end{eqnarray}$ zweimal stetig differenzierbar. So sind die gemischten Partiellen Ableitungen gleich. Ohne beweis. Für die Taylorentwicklung zum Grad 2 heißt es dann $\begin{eqnarray} f(x,y) \approx f(x_0,y_0) + \frac{df}{dx}(x - x_0) + \frac{df}{dy}(y - y_0) + \frac{d^2f}{dx^22}(x-x_0)^2 + \frac{d^2f}{dy^22}(y-y_0)^2 + \frac{d^2f}{dxdy}(x-x_0)(y-y_0) \end{eqnarray}$ Wie Du siehst ist das schon ein Bomben Term. Man kann die Taylorreihe natürlich wieder bis ins unendliche Treiben, das wird halt nur riesig. Übrigens im letzten Summand wurde obiger Satz verwendet, weswegenwir anstatt 1/2 1 haben. (es gibt ja zwei gemischte partielle ableitungen für die zweite Ableitung). naja die dritten partiellen ableitungen werden dann schon wieder 6 Terme mehr. Ach ja ich hab grad keine Ahnung wie ich das Sigma für die partielle Ableitung in latex schreibe, hoffe du vergibst mir das d ^^ ach ja, das Gebiet D wird als offene Menge gefordert! Man kann natürlich die selben Untersuchungen wie im eindimensionalen machen. Also Konvergenzbereiche festlegen etc. Wird nur sehr aufwendig.
02.02.2005, 20:52	fin	Auf diesen Beitrag antworten »
danke!!!!

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