Beweis holomorph

07.07.2007, 12:46

voko2506

Beweis holomorph

Hallo zusammen, habe folgendes Problem.

u,v seien harmonisch. Zeige , dass dann
$\begin{eqnarray*} f(z)=(u_y-v_x)+i(u_x+v_y) \end{eqnarray*}$
holomorph ist.

Harmonsich bedeutet ja , das delta(Laplace-Operator) U=0,
allerdings weiß ich nicht bzw. ich finde keinen Ansatz, wie ich dieses beweisen soll.
Kann mir jemand ein paar Tipps geben, wie ich an solche Aufgaben am besten rangehe.
Vielen Dank im voraus

P.S. Noch eine Frage zum Latex, wie kann ich Buchstaben tief- bzw. hochstellen?

07.07.2007, 12:56

Abakus

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RE: Beweis holomorph
Der Ansatz hier sind die Cauchy-Riemannschen DGL, die nachzurechnen wären.

Tiefstellen geht mir a_4 = $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ , hochstellen mit a^4 = $\begin{eqnarray*} a^4 \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

07.07.2007, 13:01

voko2506

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Das bedeutet, dass ich aus der gegebenen Funktion erstmal die Form mache.
$\begin{eqnarray*} f_x=-v_x+iu_x und f_y=u_y+iv_y \end{eqnarray*}$ ?

07.07.2007, 13:27

Abakus

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Noch zu Latex: mit "~" kannst du noch Leerzeichen erzeugen.

Ich würde den Realteil nach x differenzieren und den Imaginärteil nach y, und dann nachschauen, ob beides gleich ist.

Analog mit der zweiten CR-DGL.

Grüße Abakus smile

07.07.2007, 13:32

voko2506

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Entweder versteh ich da was falsch, wenn ich den Realteil in dem Fall ja $\begin{eqnarray*} (u_y+v_x) \end{eqnarray*}$ ableite, habe ich doch gar kein x, wonach ich ableiten könnte.
wäre das dann 0, oder?
Genauso wäre es ja bei den anderen.

07.07.2007, 13:43

Abakus

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Zitat:

Original von voko2506
Entweder versteh ich da was falsch, wenn ich den Realteil in dem Fall ja $\begin{eqnarray*} (u_y+v_x) \end{eqnarray*}$ ableite, habe ich doch gar kein x, wonach ich ableiten könnte.

Der Realteil ist hier eine Funktion in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , expliziter geschrieben:

$\begin{eqnarray*} Re~ f(x,y) = u_y(x, y) + v_x(x, y) \end{eqnarray*}$

Das lässt sich nach x ableiten, analog dann der Imaginärteil.

Grüße Abakus smile

07.07.2007, 13:49

voko2506

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Ist dann $\begin{eqnarray*} (u_y-ux) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} Re~f(x,y)=u_y(x,y)-v_x(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

07.07.2007, 14:29

Abakus

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Zitat:

Original von voko2506
Ist dann $\begin{eqnarray*} (u_y-u_x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} Re~f(x,y)=u_y(x,y)-v_x(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

Da sehe ich nicht, wo du hin willst bzw. was du machen willst.

Auszurechnen ist für die erste CR-DGL:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} Re~f(x,y) - \frac{\partial}{\partial y} Im~f(x,y) \end{eqnarray*}$

Da wäre jetzt einzusetzen.

Für die CR-DGL kannst du hier nachschauen.

Dass u und v einmal in der Funktionsdefinition von f vorkommen und einmal in den CR-DGL, solltest du unterscheiden.

Grüße Abakus smile

07.07.2007, 14:43

voko2506

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Tut mir leid ich steh im moment absolut auf dem schlauch, wie ich die erste CR-Dgl anweden soll.

07.07.2007, 15:53

Abakus

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RE: Beweis holomorph
OK, dann schlage ich 2 Dinge vor:

- einmal solltest du die CR-DGL an einer einfachen Funktion testen: sei zB $\begin{eqnarray*} k(z) = k(x, y) = z^2 = (x + iy)^2 \end{eqnarray*}$ . Kannst du nun beweisen, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ holomorph ist, d.h. dass die CR-DGL erfüllt sind ?

- zu deiner Aufgabe: benenne $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ einmal in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ um und schreibe die Variablen dazu, dann hast du: $\begin{eqnarray*} f(z) := (g_y(x,y) - h_x(x,y)) + i \cdot (g_x(x,y) + h_y(x,y)) \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du die CR-DGL vielleicht besser ansetzen.

Grüße Abakus smile

EDIT: Latex

08.07.2007, 10:13

voko2506

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Bei deinem Beispiel ist es mir klar was ich machen soll. ICh löse die Klammer auf zu $\begin{eqnarray*} (x+iy)^2~=~x^2-y^2+2ixy \end{eqnarray*}$ und wende dann die CR-Regel an, so dass ich $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} =2x; \frac{du}{dy}=-2y; \frac{dv}{dx}=2y; \frac{dv}{dy} =2x \end{eqnarray*}$ herausbekomme und somit feststeht dass die CR-DGL erfüllt sind.

Wäre es dann bei meiner Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{g_y}{dx} -\frac{h_y}{dx} ; \frac{g_y}{dy}- \frac{h_y}{dy} \end{eqnarray*}$ usw.?

Noch eine Frage zum latex bzw. Formeleditor wie mach ich das Zeichen für die partielle Ableitung?

08.07.2007, 13:06

Abakus

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RE: Beweis holomorph

Zitat:

Original von Abakus
$\begin{eqnarray*} f(z) := (g_y(x,y) - h_x(x,y)) + i \cdot (g_x(x,y) + h_y(x,y)) \end{eqnarray*}$ .

Damit hast du:

$\begin{eqnarray*} Re~ f(x,y) = g_y(x,y) - h_x(x,y) \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} (Re~ f(x, y)) = g_{yx}(x, y) - h_{xx}(x, y) \end{eqnarray*}$

ferner:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y} (Im~ f(x, y)) =~... \end{eqnarray*}$

Damit solltest du weiterkommen.

Grüße Abakus smile

PS: \partial = $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ , einen Bruch kriegst du mit \frac{a}{b} = $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ ; ansonsten kannst du dir mit "zitat" den Latex-Code jedes Beitrags anschauen, das ist meist recht instruktiv Augenzwinkern

08.07.2007, 14:54

voko2506

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Ok vielen Dank, damit weiß ich was anzufangen und kann weitermachen.

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