Formeln für Schätzer: Quadr. Regression

07.07.2007, 15:29

Modibetland

Formeln für Schätzer: Quadr. Regression

Hallo,

Gegeben ist folgende Gleichung einer Parabel:

y = a + b x²

Nach der Methode der kleinsten Quadrate sollen nun die Parameter a und b geschätzt werden.

Ich benötige nun Formeln für die Schätzer von a und b.. Eine Herleitung brauche ich nicht..

Wäre nett, wenn ihr mir die geben könntet oder sagen könntet, wo man sie findet

VIELEN DANK
MODI

07.07.2007, 15:36

Modibetland

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Und für diese Funktion bräuchte ich auch noch Formeln für die Schätzer a und b:

y = a x + b x²

MfG
MODI

07.07.2007, 15:50

Calvin

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RE: Formeln für Schätzer: Quadr. Regression

Zitat:

Original von Modibetland
oder sagen könntet, wo man sie findet

Zu faul zum selbst suchen? Ich bin in wenigen Sekunden bei wikipedia fündig geworden. Alternativ hilft sicher auch google.de

07.07.2007, 16:44

Modibetland

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Dass man sie bei wikipedia findet weiß ich auch.. nur ist die Notation dort meist umständlich, und ich frage euch deshalb

07.07.2007, 17:30

Dual Space

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Dann frag halt, wenn du an der Notation was nicht verstehst.

07.07.2007, 19:02

Modibetland

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vielleicht bin ich auch blind, aber ich habe die schätzer für mein spezielles problem auf der wikipedia.seite nicht gefunden..

da wird nur die lineare regression vorgestellt, ich brauche aber schätzer für zwei arten von parabeln

verwirrt

07.07.2007, 19:30

Calvin

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Dein erster Fall wird in wikipedia behandelt, und zwar im Abschnitt Der zweidimensionale Fall. Du musst nur $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ durch deine $\begin{eqnarray*} x_i^2 \end{eqnarray*}$ ersetzen.

Dein zweiter Fall ist im Abschnitt "Allgemeiner linearer Fall" behandelt. Allerdings ist hier die Lösung nicht direkt angegeben. Schaffst du es trotzdem (gerne auch mit unserer Hilfe), die Aufgabe zu lösen?

08.07.2007, 12:17

Modibetland

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Beim zweidimensionalen Fall werden die Formeln für eine Grade mit Ordinatenabschnitt verschieden von Null dargestellt.. das steht alles unter dem Überbegriff "lineare Modellfunktionen"

nochmal: ich suche aber Schätzer für zwei Arten von Parabeln.. auch hier gibt es einen in wikipedia einen abschnitt, aber keinerlei formeln für die schätzer

Hammer

11.07.2007, 14:21

Modibetland

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Kann mir vielleicht jemand die formeln geben?

11.07.2007, 15:36

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Im Prinzip steht alles in der Wikipedia: Es geht immer um das MKQ-Optimierungsproblem

$\begin{eqnarray*} \min_{\theta} \| X\theta-y \|_2 \end{eqnarray*}$

ganz gleich, ob es nun um gewöhnliche lineare Optimierung $\begin{eqnarray*} y=a+bx \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} 1 & x_1\\ 1 & x_2\\ \vdots & \vdots\\ 1 & x_n\end{pmatrix},\quad y = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n\end{pmatrix},\quad \theta = \begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

oder um dein erstes Problem $\begin{eqnarray*} y=a+bx^2 \end{eqnarray*}$ mit dann

$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} 1 & x_1^2\\ 1 & x_2^2\\ \vdots & \vdots\\ 1 & x_n^2\end{pmatrix},\quad y = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n\end{pmatrix},\quad \theta = \begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder schließlich um dein zweites Problem $\begin{eqnarray*} y=ax+bx^2 \end{eqnarray*}$ mit dann

$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} x_1 & x_1^2\\ x_2 & x_2^2\\ \vdots & \vdots\\ x_n & x_n^2\end{pmatrix},\quad y = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n\end{pmatrix},\quad \theta = \begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

handelt - es ist jedesmal dieselbe Schätzformel

$\begin{eqnarray*} \hat{\theta} = \left( X^TX \right)^{-1} X^Ty \end{eqnarray*}$

für den Koeffizientenvektor anwendbar. Wenn du unbedingt willst, kannst du die hier auftauchende Inverse einer 2x2-Matrix (und dann auch die ganze Lösungsformel) natürlich auch explizit hinschreiben.

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