Verständnissfrage substitution

07.07.2007, 17:30

zeusosc

Verständnissfrage substitution

Hallo, es ist eigentlich eine Physikaufgabe, aber in der Lösung wird ein Schritt verwendet den ich nicht verstehe,..
erstmal die aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \text{Berechnen Sie für die Ladungsverteilung} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textit{ (abgeschirmte Punktladung)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rho (\vec{r})=q\left[ \delta (\vec{r})-\frac{\alpha^2}{4\pi}\frac{e^{-\alpha r}}{r}\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{die Gesamtladung Q.} \end{eqnarray*}$

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} Q=\int_Vd^3r\rho (\vec{r}) \end{eqnarray*}$
daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} Q=q\int_Vd^3r\delta (\vec{r})-q\int_Vd^3r\frac{\alpha^2}{4\pi}\frac{e^{-\alpha r}}{r} \end{eqnarray*}$
da über ganz V integriert wird ist nach definition:
$\begin{eqnarray*} \int_Vd^3r\delta (\vec{r})=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Q=q-q\int_Vd^3r\frac{\alpha^2}{4\pi}\frac{e^{-\alpha r}}{r} \end{eqnarray*}$
schauen wir uns jetzt das letzte Integral an:
$\begin{eqnarray*} \int_Vd^3r\frac{\alpha^2}{4\pi}\frac{e^{-\alpha r}}{r}=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi d\vartheta\sin{\vartheta} \int_0^\infty dr r^2\frac{\alpha^2}{4\pi}\frac{e^{-\alpha r}}{r} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int ... =\alpha^2\int_0^\infty drre^{-\alpha r} \end{eqnarray*}$

soweit hatte ich das auch,. jetzt kommt etwas was ich nicht verstehe,..
$\begin{eqnarray*} Q=q-q\alpha^2\int_0^\infty drre^{-\alpha r}=q+q\alpha^2\frac{d}{d\alpha}\int_0^\infty dr e^{-\alpha r} \end{eqnarray*}$ ..

die ersetzung $\begin{eqnarray*} -r=\frac{d}{d\alpha} \end{eqnarray*}$ will mir nicht so ganz in den Kopf,...welcher satz /sätze steckt dahinter???

danke schon mal im vorraus

07.07.2007, 17:39

Dual Space

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RE: Verständnissfrage substitution

Zitat:

Original von zeusosc
die ersetzung $\begin{eqnarray*} -r=\frac{d}{d\alpha} \end{eqnarray*}$ will mir nicht so ganz in den Kopf,...welcher satz /sätze steckt dahinter???

Hier wurde nicht substituiert. Die Identität sollte sich von selbst ergeben, wenn man den Term:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd \alpha} \int_0^\infty\dd re^{-\alpha r} \end{eqnarray*}$

mal ausdifferenziert.

Edit (18:07): r in Term entfernt.

07.07.2007, 17:59

zeusosc

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Sry aber irgendwie,.hmmmm

also:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{d\alpha}\int_0^\infty drre^{-\alpha r}=-e^{-\alpha r}\frac{\alpha r-r^2}{2\alpha ^2}|^\infty_0 \end{eqnarray*}$
und aus:
$\begin{eqnarray*} -\int_0^\infty drre^{-\alpha r}=\frac{d}{d\alpha}\int_0^\infty dre^{-\alpha r} \end{eqnarray*}$
wird:
$\begin{eqnarray*} r|_0^\infty=2\alpha \end{eqnarray*}$

irgendwie seh ich das mit der identität net,.. verwirrt

kannst du bitte genauer nochmal darauf eingehen,...
danke

07.07.2007, 18:07

Dual Space

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Hab mich oben vertippt. Sorry dafür. Jetzt ist es korrigiert. Versuch's nochmal. Augenzwinkern

07.07.2007, 18:26

zeusosc

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jo, aus:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty drre^{-\alpha r}=\frac{d}{d\alpha}\int_0^\infty dre^{-\alpha r} \end{eqnarray*}$
folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{r^2}{2\alpha}e^{-\alpha r}|_0^\infty \stackrel{\text{L'Hospital}}{=}\frac{r}{e^{\alpha r}}|_0^\infty \end{eqnarray*}$

stimmt, aber wie kommt man auf die idee das schon vor der eigentlichen integration zu machen???
naja,. grüße und danke

07.07.2007, 18:52

Dual Space

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So allgemein kann man die Frage nach "Wie kommt man drauf?" nicht beantworten. Ich würde sagen, hier ist es eine gute Mischung aus Erfahrung, gutem Auge und zielorientiertem Rechnen.

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Verständnissfrage substitution

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