Bestimmung des lokalen Maximums!

07.07.2007, 20:28

flasher

Bestimmung des lokalen Maximums!

Hallo!

Folgende Aufgabe ist ein Ausschnitt aus einer Abschätzung des folgenden Integrals. Ich selber kann das Integral richtig abschätzen (vom theoretischen Ansatz) allerdings scheitert es, dass lokale Maximum zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{sinx}{x} \end{eqnarray*}$

Ich bräuchte das lokale Maximum im Bereich $\begin{eqnarray*} [2\pi;3\pi] \end{eqnarray*}$ .

Soweit ich das noch weiß, muss ich die erste Ableitung bilden und diese gleich 0 setzen.

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{cosx*x-sinx}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Gleich noch vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{sinx}{cosx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=tanx \end{eqnarray*}$

So und jetzt weiß ich nicht mehr weiter!

Ich wollte ja eigentlich nur mein lokales Maximum Augenzwinkern

Vielleicht hat da jemand einen Tip!

Danke euch!

Grüße,

Flasher

07.07.2007, 21:11

mYthos

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Die Gleichung ist algebraisch nicht lösbar. Man könnte ein Näherungsverfahren (z.B. Newton) einsetzen, hier ist aber zunächst nur aus der Anschauung klar, dass eine Lösung x = 0 ist, welche aber nicht in der Definitionsmenge liegt (!). Weitere Lösungen, die du nun näherungsweise zu ermitteln hast, sind

T1 (4,49341 | -0,217234)
H2 (7,72525 | 0,128375)
.........

mY+

07.07.2007, 22:01

flasher

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Danke mYthos für deine Antwort, aber ich glaube mein Dozent verfolgt einen anderen Lösungsweg!

Ich schreibe am besten jetzt mal die gesamte Aufgabe:

Zitat:

Schätzen Sie das Integral nach oben und unten ab!

$\begin{eqnarray*} \int_{2\pi }^{3\pi }\frac{sinx}{x}~~ dx \end{eqnarray*}$

Hierfür haben wir im Kapital "Abschätzung von Integralen" des Mathe-Scripts folgende Formel:

f sei stetig im Intervall [a;b] mit $\begin{eqnarray*} m\leq f(x)\leq M \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} m(b-a) \leq \int_{b}^{a}~f(x)~dx \leq M(b-a) \end{eqnarray*}$

Darunter noch eine Zeichnung, die zeigt, dass M das lokale Maximum im Bereich [a;b] und m das lokale Minimum im Bereich[a;b] ist.

---------------------

Nun zurück zur Aufgabe:

Ich habe mir nun den Verlauf dieser Funktion anhand einer Skizze verdeutlicht:

[ModEdit: Link entfernt, Bild direkt hochgeladen! mY+]

Wie man sehen kann liegt im Bereich von $\begin{eqnarray*} [2\pi;3 \pi ] \end{eqnarray*}$ das Minimum bei 0 und das Maximum bei ???

Die meisten Studenten (inkl. mir) haben natürlich gedacht, das Maximum liegt bei $\begin{eqnarray*} 2,5 \pi \end{eqnarray*}$ aber laut unserem Dozenten ist das nicht so, weil die Kurve durch das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gestaucht wird und sich so das Maximum verschiebt.

Nachdem ich hier die komplette Problemstellung gepostet habe, weiß ich allerdings nicht ob das noch in Schulmathematik fällt, weil die Aufgabe in der FH gestellt wurde.

Vielleicht hat noch jemand einen Tip, wie ich eine korrekte Abschätzung durchführen kann!

Grüße,

Flasher

07.07.2007, 22:15

mYthos

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Alles schön und gut, aber deswegen stimmt ja doch das von mir angegeben Maximum bei x = 7,725 (es ist ja NICHT gleich 2,5 pi)

Und:
Bitte lade dein Bild doch hier im Board hoch, denn wer weiss schon, wie lange der Link funktioniert ...

mY+

07.07.2007, 22:25

Calvin

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Ich habe es mal in die Hochschulmathe verschoben.

Ich verstehe die Aufgabe so, dass grob abgeschätzt werden soll. Es ist also nicht notwendig, das genaue Maximum zu kennen.

Der Zähler pendelt immer zwischen -1 und 1. Das sind also die Extremwerte des Zählers. Jetzt muss man nur noch den Nenner betrachten und kommt zur Abschätzung

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3\pi}\leq \frac{\sin{x}}{x}\leq \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$

Möglicherweise geht es noch genauer. Aber danach war ja nicht gefragt Augenzwinkern

07.07.2007, 22:27

flasher

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Natürlich stimmt deine Lösung! smile

Aber mein Dozent hat das so schnell in der Vorlesung aus der Tasche gezogen und auch nichts von Näherungslösung erwähnt, so dass ich die Vermutung hatte, man könnte das Maximum irgendwie "normal" bestimmen und nicht mit einer Näherungslösung!

Aber ich denke, du hast genug Erfahrung und wenn du sagst, dass ich das nur mit Näherungslösung oder auch nicht mit irgendeiner trickreichen Überlegung lösen kann, dann wirst du Recht haben.

Mich wundert das einfach, weil die Aufgaben normalerweise so gestellt werden, dass man sie sehr schnell ohne großen Aufwand lösen kann, wenn man nur den richtigen Trick gesehen hat!

Danke dir!

Grüße,

Flasher

07.07.2007, 22:38

mYthos

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Calvin's Lösung dürfte nicht stimmen, denn der tatsächliche Wert des bestimmten Integrals ist meiner Berechnung nach 0,25661 FE.

Setzt man jedoch den y-Wert des Maximums rechts für M ein und $\begin{eqnarray*} a - b = \pi \end{eqnarray*}$ , stimmt die Abschätzung wenigstens nach oben:

$\begin{eqnarray*} 0,25661 < 0,128375 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,25661 < 0,4033 \end{eqnarray*}$

Im angegebenen Bereich befindet sich allerdings kein (relatives) Minimum ...

mY+

07.07.2007, 22:45

Calvin

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@mYthos

nach unten habe ich mit einer negativen Zahl abgeschätzt. Damit stimmt die Abschätzung auch nach unten.

07.07.2007, 22:51

flasher

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@ mYthos

Jetzt muss ich gleich nochmal nachfragen:

Wie hast du das exakt integriert?

Habe gerade mal etwas herumprobiert und mit partieller Integration klappt das nicht. Naja und Substitution ist mit jetzt auch nicht eingefallen, wie ich das x komplett ersetzen kann.

Machst du das komplex? (Ich muss gestehen, komplex integrieren wir nicht) Von daher wäre es für mich dann wohl nicht lösbar!

Grüße,

Flasher

07.07.2007, 22:53

mYthos

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Meines Erachtens ist dieses Integral nicht algebraisch (geschlossen) darstellbar, also kann man dieses ebenfalls nur näherungsweise berechnen. Ich habe dieses numerisch ermittelt.

Zitat:

Original von Calvin
...
nach unten habe ich mit einer negativen Zahl abgeschätzt. Damit stimmt die Abschätzung auch nach unten.

Nach oben stimmt sie aber nicht ....

$\begin{eqnarray*} 0,25661 \leq \frac{1}{2 \pi} \end{eqnarray*}$ ist eine falsche Aussage.

mY+

07.07.2007, 22:55

kiste

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aber kleiner 1/2 den es muss ja noch mit (b-a) multipliziert werden Augenzwinkern

07.07.2007, 23:00

mYthos

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Nein, denn Calvin hat ja nur die Schwankungen des Zählers betrachtet und in die Nenner einfach die Grenzen eingesetzt. Damit verwendet er gar nicht die Beziehung von flasher.

EDIT:
@Kiste, ja klar, sh. weiter unten ...

mY+

07.07.2007, 23:05

Calvin

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@mYthos

ich habe zuerst diese Abschätzung gemacht:

Zitat:

Original von flasher
f sei stetig im Intervall [a;b] mit $\begin{eqnarray*} m\leq f(x)\leq M \end{eqnarray*}$

Bei mir ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3\pi}\leq \frac{\sin{x}}{x}\leq \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$

Laut deiner Aussage ist das Maximum bei x=7,752. Es ist $\begin{eqnarray*} f(7,752)\approx 0,128<\frac{1}{2\pi}=0,159 \end{eqnarray*}$ . Meine Abschätzung stimmt hier also.

Und mit der Abschätzung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} m(b-a) \leq \int_{b}^{a}~f(x)~dx \leq M(b-a) \end{eqnarray*}$

kann man das Integral richtig abschätzen.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3\pi}\cdot\pi\leq \int\ldots\leq \frac{1}{2\pi}\cdot\pi \end{eqnarray*}$

07.07.2007, 23:14

mYthos

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Ja, so ist es klar. Du hast zuerst die Funktion abgeschätzt, dann erst das Integral. Diesen Schritt hatte ich übersehen.

Der Wert dieses bestimmten Integrals liegt also zwischen - 1/3 und + 1/2

Conclusio:
Wenn es in dem gegebenen Intervall ein relatives Extremum gibt, verwendet man dieses, dann wird die Abschätzung etwas genauer, anderenfalls nimmt man eben die Randextrema.

mY+

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