Fresnel-Integral mit Funktionentheorie berechnen --> Rechenprobleme

07.07.2007, 21:00

gessi

Fresnel-Integral mit Funktionentheorie berechnen --> Rechenprobleme

Hallo,

wie der Titel schon sagt, will ich ein Fresnelintegral mit Hilfe der Funktionentheorie berechnen. Der Beweis stammt nicht von mir, ich habe "nur" versucht, ihn nachzuvollziehen.

Er steht hier (ziemlich weit unten).

Im Großen und Ganzen verstehe ich ihn, aber ich habe noch ein paar Fragen:

An einer Stelle wird der CIS angewendet. Ist $\begin{eqnarray*} e^{-z^2} \end{eqnarray*}$ überhaupt holomorph? Ich habe gerade versucht, das nachzurechnen, und bin darauf gekommen, dass es nicht holomorph ist (und zwar nirgends). Aber darf ich dann den CIS anwenden? Oder ist es doch holomorph und ich habe mich nur verrechnet?
Kann es sein, dass beim Integral über $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ ein i verlorengegangen ist? $\begin{eqnarray*} \gamma_2~ ' \end{eqnarray*}$ müsste doch i sein.
Es gibt den Schritt $\begin{eqnarray*} e^{-R^2} \int_0^{aR} |e^{t^2}||e^{-2iRt}|dt = e^{-R^2} \int_0^{aR}| e^{t^2}|dt \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} |e^{-2iRt}| \end{eqnarray*}$ scheint 1 zu sein. Aber warum? R und t sind ja ganz allgemein. Ich weiß nur, dass $\begin{eqnarray*} e^{ix}=1 \end{eqnarray*}$ , wenn x ein Vielfaches von pi ist. Aber das ist hier ja nicht unbedingt gegeben.
Warum gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{R \to \infty} e^{-R^2} \int_0^{aR} e^{t^2}dt = 0 \end{eqnarray*}$ ? Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} e^{-R^2} \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht, aber woher weiß ich, dass das Integral beschränkt ist?

Wäre nett, wenn sich das einer mal kurz anschauen könnte. Man muss auch nicht den ganzen Beweis nachvollziehen, um die Fragen zu beantworten, glaube ich Augenzwinkern

Edit: Ach ja, kann mir jemand einen Tip geben, wie man die Gleichheit $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} sin(x^2)=\int_0^{\infty} cos(x^2) \end{eqnarray*}$ zeigt?

07.07.2007, 21:07

kiste

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Kann dir nur 3 und 4 beantworten:
zu 3) Stells dir doch einmal geometrisch vor, e^ix ist der Einheitskreis also ist die Länge 1 ansonsten ausschreiben mit sin/cos und explizit berechnen.

zu 4) versuchs mal mit L'Hospital

07.07.2007, 21:53

Tomtomtomtom

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zu 1.)
Es ist holomorph, und zwar in ganz IC. Es ist ja einfach eine Hintereinanderausführung holomorpher Funktionen. Wenn du meinst, daß die Cauchychen Integralgleichungen nicht stimmen, dann mußt du dich irgendwo verrechnet haben.

Zu dem Edit:
Nimm dir einfach die letzte angegebene Gleichung. Trenne wie dort vorgeschlagen nach Real- und Imaginärteil. Dann kriegst du zwei lineare Gleichungen in denen die beiden Fresnelschen Integrale vorkommen, laso im Prinzip ein lineares Gleichungssystem. Das Lösen liefert dir dann die Werte der beiden Integrale und auch, daß diese identisch sind.

08.07.2007, 10:34

Dual Space

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RE: Fresnel-Integral mit Funktionentheorie berechnen --> Rechenprobleme

Zitat:

Original von gessi
Ich weiß nur, dass $\begin{eqnarray*} e^{ix}=1 \end{eqnarray*}$ , wenn x ein Vielfaches von pi ist.

Vorsicht das gilt nur für gerade Vielfache von Pi, denn $\begin{eqnarray*} e^{i(2k+1)\pi}=\cos((2k+1)\pi) + i\cdot\sin((2k+1)\pi)=-1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N}\cup{0} \end{eqnarray*}$ .

08.07.2007, 17:04

gessi

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Zu den meisten Punkten kann ich ja nur sagen "Oh Mann..." Hammer

@ Dual Space: Ups, verschrieben... das meinte ich eigentlich

Eins ist mir aber nicht ganz klar:

Zitat:

zu 4) versuchs mal mit L'Hospital

Wie/ auf was soll ich den anwenden? verwirrt

08.07.2007, 18:30

kiste

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$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{R \to \infty} e^{-R^2} \int_0^{aR} e^{t^2}dt = \lim\limits_{R \to \infty} \frac{\int_0^{aR} e^{t^2}dt}{e^{R^2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du den Fall $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ darfst also Zähler und Nenner ableiten. Für den Zähler kannst du dann den Hauptsatz benutzen Augenzwinkern

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