Vektorberechnung aus Winkeln?

07.07.2007, 20:33	Quaesitura	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorberechnung aus Winkeln? Hi @ all, ich habe eine Frage zur Berechnung von Vektoren aus Winkeln. Ich habe irgendwo Formeln aufgetrieben, um aus einem Vektor seine drei Winkel zu den jeweiligen Achsen eines karthesischen Koordinatensystems zu "extrahieren": Winkel_zur_x-Achse = arccos( x-Anteil / Betrag des Vektors) Winkel_zur_y-Achse = arccos( y-Anteil / Betrag des Vektors) Winkel_zur_z-Achse = arccos( z-Anteil / Betrag des Vektors) Jetzt stehe ich gerade vor der Frage: Kann man das Ganze auch herumdrehen? Gibt es also irgendwelche Formeln, die sinngemäß lauten: x-Anteil = "tu irgendwas mit dem Winkel_zur_x_Achse" usw.? Oder geht das "aus Prinzip" nicht, weil mit drei Winkeln der Vektor ja nicht vollständig beschrieben ist, sondern seine Länge noch undefiniert ist? Angenommen, ich _habe_ nun aus anderen Rechenschritten bereits einen Betrag für den gesuchten Vektor plus seine drei Winkel - gibt es für diesen Fall dann Formeln, die mir den Vektor als (x-Anteil, y-Anteil, y-Anteil) berechenbar macht? Besten Dank für jedes Mitdenken und jede Hilfe, Quaesitura
07.07.2007, 21:29	magneto42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorberechnung aus Winkeln? Stelle Dir einen beliebigen Einheitsvektor im Koordinatensystem vor. Dieser Vektor (Richtungsvektor) läßt sich schreiben als Repäsentation der Richtungscosinusse: $\begin{eqnarray} \vec{r}=(cos(\theta_x),cos(\theta_y),cos(\theta_z)) \end{eqnarray}$ Ein Vektor der Länge L in diese Richtung ist dann $\begin{eqnarray} L \cdot \vec{r} \end{eqnarray}$ Praxisbezogen habe ich den Richtungscosinus mehrfach verwendet um in kristallographischen Systemen die Neigung von der Hauptachse zu beschreiben. Auch bei gedrehten Koordinatenachsen sind die Richtungscosinusse recht sinnvoll.
08.07.2007, 13:59	Quaesitura	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorberechnung aus Winkeln? Hi, magneto42, ich bin noch nicht ganz sicher, ob ich Deine Antwort richtig verstanden habe. In jedem Fall aber erstmal einen herzlichen Dank dafür! Kann ich das so verstehen, dass ich die von mir verwendeten Formeln für den "Hinweg" einfach umstellen kann? Also $\begin{eqnarray} \theta_x = \arccos(\frac{v_x}{\mid \vec{x} \mid }) \Rightarrow v_x = cos(\theta_x) {\mid \vec{x} \mid } \end{eqnarray*}$ und analog für die y- und z-Komponente? Das wäre deutlicher einfacher, als ich befürchtet habe... :-o :-) Mit bestem Dank von Quaesitura
08.07.2007, 18:41	magneto42	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Richtungscosinus ist definiert als $\begin{eqnarray} cos(\theta_i)=\frac{x_i}{\|\vec{x}\|} \end{eqnarray}$ Damit gilt auch $\begin{eqnarray} \sum{cos^2(\theta_i)} = 1 \end{eqnarray}$ Ich hoffe das hilft.
08.07.2007, 19:33	Quaesitura	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut es! :-) :-) :-) Vielen Dank nochmal von Quaesitura

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