Folgen

03.02.2005, 20:11

PsychoCat

Folgen

kann mir jemand sagen ob $\begin{eqnarray*} (log n)^{n} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n})^{n} \end{eqnarray*}$ schneller oder langsamer gegen unendlich gehen als n! (für n gegen unendlich) und was von den beiden schneller ist?
Gibts dafür irgendwelche Regeln, die man sich merken kann?

Ich weiß, dass n^n schneller n! schneller q^n schneller n^q schneller log n geht, aber mein Problem ist, wenn etwas zum Beispiel ein n im Exponenten hat, aber dann wieder abgeschwächt wird durch ein log oder eine Wurzel, dann weiß ich es nicht mehr unglücklich

03.02.2005, 20:26

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgen
Wenn du eine Zeichnung der betreffenden Terme machst, (als Funktion) wirst Du schnell sehen, was am schnellsten wächst...

In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ schneller als $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}^n \end{eqnarray*}$ und das ist schneller als $\begin{eqnarray*} \log{n^n} \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten kommst Du durch das Einsetzen grosser Werte auf Zahlen, die dann Vermutungen zulassen Augenzwinkern

, oder du schreibst die Terme möglichst um.

So kannst Du z.B. sagen, dass $\begin{eqnarray*} \log{n^n}=n\log{n} \end{eqnarray*}$ ist. Das ist schwächer als $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ . Ausserdem ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}^n=n^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray*}$ . Das ist logischerweise auch schwächer, als $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ .

Aber wie gesagt: Mach dir am besten Zeichnungen!

Gruß Wink

Edit: Latex korrigiert!

03.02.2005, 20:28

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

autsch!

$\begin{eqnarray*} log(n^n)=n*log(n) \end{eqnarray*}$
aber $\begin{eqnarray*} (log (n))^n \not= nlog(n) \end{eqnarray*}$

mfg jochen

edit: deshalb: klammern setzen!

03.02.2005, 20:34

bReet

Auf diesen Beitrag antworten »

.....sry hier stand schwachfug...

03.02.2005, 20:35

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED:

Sooooorrry! Gott

Habe mich verlesen! Verdammt! Hammer

Danke für den Hinweis! Ich werd einen auf Dich trinken Prost

@ PsychoCat:
Die Fakultät ist trotzdem schneller Big Laugh

!
Aber der Quatsch, dass es schwächer als $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ist, stimmt nun natürlich nicht!!! Sorry! Hammer

Aber ich mache Dir dafür mal eine Zeichnung der Funktionen! smile

EDIT: Kann keine x! Funktion zeichnen! Wie geht das?

03.02.2005, 20:37

bReet

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frooke

hihihi süsser spruch...

ich glaub du musst einen best. wert bei ! einsetzen...

03.02.2005, 20:38

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

also (log(n))^n is ja gleich n log n und

du hast es eingesehen, frooke, kriegen wir breet auch noch dazu? Augenzwinkern

Zitat:

Ich werd einen auf Dich trinken

zum Wohl!

@psychoCat: willst du das eigentlich nur wissen oder sollst du das rechnerisch zeigen? weil zum wissen reichen zeichnungen (und berechnete funktionswerte großer n).....

03.02.2005, 20:38

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

@ breet

Hab's verbessert! Zunge

Nein, Spass bei Seite Augenzwinkern

! Weisst Du, wie man x! zeichnet mit diesem Plotter?

Gruss Frooke Wink

03.02.2005, 20:42

bReet

Auf diesen Beitrag antworten »

ich gibs ja zu!!!kann noch nich nicht mal in ruhe editieren ohne das man zu rechenschaft gezogen wird....

...ne siehst ja wie das mit 3! aussieht....komisch..

03.02.2005, 20:49

PsychoCat

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die vielen Antworten!
Ich brauche sowas in meiner bevorstehenden Klausur, also ist zeichnen schlecht Augenzwinkern

aber warum geht denn n^(n/2) langsamer gegen unendlich als n! ? n^n geht ja schneller..

03.02.2005, 20:56

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr schon plotten wollt, dann lieber die Logarithmen der drei Funktionen:

Für n! habe ich die Stirling-Näherungsformel (oberste Kurve) genommen.

Zum Vergleich n! und n^(n/2):

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{n/2}}\stackrel{!}{=}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\cdot n^ne^{-n}}{n^{n/2}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\cdot n^{n/2}}{e^n}=\infty \end{eqnarray*}$

03.02.2005, 21:00

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur!
Heisst das, dass man x! hier nicht plotten kann?

Und weshalb plottest Du die Logarithmen der Funktionen? verwirrt

Ich versteh das nicht so ganz!

Gruss Frooke

03.02.2005, 21:08

Auf diesen Beitrag antworten »

x! gibt es nicht, da Fakultät nur für natürliche Zahlen definiert ist. Es gibt allerdings eine "Erweiterung" für (fast) alle reellen Zahlen, nennt sich Gammafunktion. Der Zusammenhang zu Fakultät besteht über

$\begin{eqnarray*} \Gamma(n)=(n-1)! \end{eqnarray*}$

für alle positiven ganzen Zahlen n. Und für die Stirling-Formel

$\begin{eqnarray*} S(x)=\sqrt{2\pi x}\cdot x^x\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

gilt dann

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\Gamma(x+1)}{S(x)}=1 \end{eqnarray*}$ ,

bzw. für große x setzt man daher $\begin{eqnarray*} \Gamma(x+1)\approx S(x) \end{eqnarray*}$ .

Und die Logarithmen sind deshalb beim Zeichnen günstiger, weil alle drei Funktionen sehr schnell nach oben "durch die Decke" gehen - man also mit einer logarithmischen y-Skale mehr "sieht". (Ich kann's auch mathematischer formulieren, aber ob das dann für alle besser verständlich ist?)

03.02.2005, 21:12

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort! Freude

Die Formulierung war perfekt (jedenfalls habe ich sie so verstanden)! Freude

Trotzdem hätte ich gerne gewusst, wie die kompliziertere Formulierung aussieht! smile

Hat das irgendwie damit zu tun, dass die Logarithmusfunktion injektiv oder bijektiv ist? Oder bin ich da im falschen Film? verwirrt

Gruss und Danke für die Antwort Freude

EDIT: Grammatikfehler behoben!

2. EDIT: @ bReet! Deine 3! sieht man nicht, weil 3!=6. Ich erlaube mir, kurz deinen Beitrag zu editieren, damit man den Strich sehen kann ok?

3. EDIT: Dazu fehlt mir leider die Zugriffsberechtigung, aber nur damits klar ist:

Neue Frage »

Antworten »

Folgen

Verwandte Themen