Matrixexponentialfunktion

08.07.2007, 11:46

Bool

Matrixexponentialfunktion

Hallo allerseits,

Gehe grad alte Unterlagen durch, und mir ist mal aufgefallen, dass ich die Matrixexponentialfunktion nicht so recht verstehe.

Finde über google kaum Beispielaufgaben, so dass ich damit etwas machen könnte.

Ich frage mich wie man da vorgeht.

zB bei solchen Sachen:

Berechne e^A von:

1)
1 t
0 2

2)
3 0
t 1

habe gelesen, dass man es trennt, schön und gut, aber bei den Beispielaufgaben die ich gesehen habe, waren die Diagonalen schön abhängig voneinander, so dass man es in t mal E und N trennen konnte usw. , aber habe da es auch net so wirklich verstanden unglücklich

.

Hat einer vielleicht Lust mir die Vorgehensweise zu erläutern oder hat nen Link zu ner Aufgabensammlung mit Lösungen, wo man es auch verstehen kann ?

Ich bedanke mich schon mal bei allen, die mir helfen bzw Tipps geben!

Schöne Grüße
Bool

08.07.2007, 11:58

therisen

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Hallo,

üblicherweise geht man wie folgt vor: Man diagonalisiert die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , sodass gilt $\begin{eqnarray*} A=S^{-1}\cdot\mathrm{diag}\cdot S \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \exp A = S^{-1}\cdot\exp(\mathrm{diag})\cdot S \end{eqnarray*}$ . Dabei berechnet man $\begin{eqnarray*} \exp(\mathrm{diag}) \end{eqnarray*}$ einfach, indem man die Exponentialfunktion auf jeden Diagonaleintrag anwendet.

Gruß, therisen

08.07.2007, 12:17

Bool

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Hi,
Also ist die Vorgehensweise ja so:
Eigenwerte; Eigenvektoren; dann hab ich S;
davon die inverse, dann A * S * S^-1 = diag

ok bis dahin raff ich es, aber danach weíß ich net so wirklich was ich machen muss, eventuell nen Link zu nen paar Beispielaufgaben einer parat wo es nach dieser Vorgehensweise gemacht wird, finde selber leider nichts unglücklich

.

Danke schön!

08.07.2007, 12:30

therisen

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Nein, $\begin{eqnarray*} S^{-1} A \cdot S = \mathrm{diag} \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} S \cdot\mathrm{diag} \cdot S^{-1} = A \end{eqnarray*}$

Was verstehst du denn an den folgenden Schritten nicht? Gemeint habe ich, dass $\begin{eqnarray*} \exp(\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)) = \mathrm{diag}(\exp(\lambda_1),\dots,\exp(\lambda_n)) \end{eqnarray*}$

Versuch doch mal deine erste Aufgabe hier zu lösen. Ich helfe dir an den Punkten, wo du nicht weiterkommst, weiter.

Gruß, therisen

08.07.2007, 12:47

Bool

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RE: Matrixexponentialfunktion
ok danke dir !

Fangen wir mal an:
1 t
0 2

Eigenwerte sind:
(1; 2)

=> EV zu 1
(1 0)

=> EV zu 2
(t 1)

=> S =
1 t
0 1

S^-1=
1 -t
0 1

hmm jetzt weiß ich net mehr so Recht;
würde jetzt so weitermachen:
S * S^-1 * A = D
1 -t 1 t 1 t
0 1 0 1 0 2

das Ding ist, das mein Mathematik-Deutsch net so gut ist, und ich daher net genau weiß was auch mit den nächsten Schritt explizit gemeint ist, daher auch meine Bitte mit den beispielaufgaben, damit ich das da nachvollziehen kann.

08.07.2007, 12:54

therisen

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RE: Matrixexponentialfunktion

Zitat:

Original von Bool
S * S^-1 * A = D

Nein, das stimmt nicht, siehe oben. Der Rest ist aber richtig Freude

$\begin{eqnarray*} \exp(A)=\exp(S\cdot\mathrm{diag}(1,2)\cdot S^{-1})=S\cdot \exp(\mathrm{diag}(1,2)) \cdot S^{-1} = S \cdot \begin{pmatrix} \exp(1) & 0 \\ 0 & \exp(2) \end{pmatrix} \cdot S^{-1} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

08.07.2007, 13:07

Bool

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Also wär mein
e^A immer gleich
S * S^-1 * e^hoch die diagonalen ?

Korrekt ich rechne mal kurz ne Aufgabe nochmal ne andere Aufgabe nach, wo ich das Ergebnis habe und wenn dasselbe rauskommt wär das Bombe!

Vielen Dank !

08.07.2007, 13:09

therisen

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Zitat:

Original von Bool
S * S^-1 * e^hoch die diagonalen ?

Zum dritten mal: Nein, das ist falsch. Es gilt doch $\begin{eqnarray*} S\cdot S^{-1}=1_n \end{eqnarray*}$ (Einheitsmatrix).

08.07.2007, 14:09

Bool

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uhaa ok, ich habs nu raus!
Danke dir!

Noch ne kleine Nachfrage zu Typen wie
2 t
0 2

die kann ich ja direkt trennen in
2*E2 und N

1 0
0 1 und

0 t
0 0

N^0 = E2
N^1 = N
N² = 0

E^N = E2 + N/1! (da N²=0) =
1 t
0 1

wie ist nun der letze Schritt wo ich e^A ausrechne bzw stimmt das alles ?

08.07.2007, 15:16

Mazze

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Versuch mal zu schauen wie

$\begin{eqnarray*} e^J \end{eqnarray*}$

aussieht , wenn J in Jordannormalform ist. Dafür ist es Hilfreich zu Zeigen das

$\begin{eqnarray*} e^{A+B} = e^A*e^B \end{eqnarray*}$

genau dann wenn

AB = BA

ist. Dann kannst Du nämlich allgemein für jede komplexe Matrix A e^A berechnen, nicht nur für die diagonalisierbaren.

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