stetige Erweiterung |
| 04.02.2005, 13:24 | AoG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| stetige Erweiterung Ich soll herausfinden ob die folgende Funktion stetig erweiterbar ist. So nun hab ich die Nullstellen und den Pol bestimmt. Meiner Meinung nach ist eine Funktion nur dann stetig erweiterbar, wenn sie keine Polstellen aufweist. Oder habe ich das falsch verstanden ? |
||||
| 04.02.2005, 13:33 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Erweiterung jop, falsch verstanden. Eine Funktion ist dann stetig erweiterbar, wenn der linkseitige und der rechtseitige Grenzwert an die Polstelle identisch nicht unendlich sind. Als einfacher WEg um das herauszubekommen kannst Du gucken ob in diesem Fall eine Polynomdivision ohne Rest möglich ist, wenn ja, dann ist die Funktion auf jeden Fall stetig fortsetzbar. PS: Stellen werden nicht in Punktform angegeben, sondern in der Form . Stellen bezeichnen "Stellen" auf der x-Achse. Im Zusammenhang mit PolStellen wird das sehr deutlich, da Polstellen keinen Funktionswert haben Jan |
||||
| 04.02.2005, 13:36 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: stetige Erweiterung
allgemein gesprochen gilt folgendes: Man untersucht die Definitionslücken der Funktion, ob die Funktion dort stetig erweiterbar ist. Bei gebrochen rationalen Funktionen sind die Definitionslücken die Nullstellen des Nenners. Je nachdem, wie der Zähler beschaffen ist, ist dort eine Polstelle oder man kann die Funktion stetig erweitern. Eine Funktion kann durchaus an der Stelle x1 eine Polstelle haben und an der Stelle x2 stetig erweiterbar sein. Ich weiß jetzt nicht, ob x1 = 2 die einzige Nullstelle vom Nenner ist. |
||||
| 04.02.2005, 13:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Erweiterung Um Klarsoweits Aussage zu präzisieren: Wirklich interessant sind Fragen der Fortsetzbarkeit bei gebrochen rationalen Funktionen f(x)=P(x)/Q(x) ja nur an den Nullstellen des Nennerpolynoms Q(x). Und an solch einer Nullstelle x' ist f genau dann fortsetzbar, wenn dieses x' auch Nullstelle von P ist in mindestens der Vielfachheit, in der es Nullstelle von Q ist. Andernfalls ist x' eine Polstelle. Andere Möglichkeiten gibt es bei gebrochen rationalen Funktionen nicht. |
||||
| 04.02.2005, 14:06 | AoG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also muss es eine Nullstelle geben, die eine Nullstelle vom Nenner - sowie vom Zählerpolynom ist. Gut in diesem Beispie lwäre es die Nullstelle N(1/0) die auf beide Polynome zutrifft. Kann ich diese Eins jetzt nicht irrgendwie einsetzten und dann, einen Wert ausrechnen, sodass man sagen "hier siehste stetig erweiterbar". |
||||
| 04.02.2005, 14:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
auf dieses "irgendwie" kommt es jetzt an. Da die Stelle 1 Nullstelle von Zähler und Nenner ist, kannst du in beiden Polynomen den Linearfaktor (x - 1) rausziehen, also z.B. das Nennerpolynom schreiben als Nenner = (x - 1) * "neues Nennerpolynom". Dazu mußt du eine Polynomdivision machen. Dasselbe mit dem Zähler. Und dann kannst du (x - 1) rauskürzen dann wieder prüfen, wie sich Zähler und Nenner an der Stelle 1 verhalten. |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 04.02.2005, 14:24 | AoG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay ich habe das wie folgt gemacht 1. Die gesamte Funktion in Produktform geschrieben. 2. Nullstelle 1 gekürzt 3. In die entstandene Funktion 1 eingesetzt und da kam -10 raus. Was sagt mit dieser Wert, bzw. was kommt raus wenn die Funktion nicht stetig erweiterbar ist ? |
||||
| 04.02.2005, 14:30 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wäre schon, wenn du deine Ergebnisse auch hier reinschreibst, dann brauche ich nicht alles selbst zu rechnen. Ich nehme also an, dass nach dem Kürzen der Nenner an der Stelle 1 nicht mehr Null ist. Mit der -10 habe ich aber meine Zweifel, da die Stelle 1 doppelte Nullstelle vom Zähler ist. Wie dem auch sei, die Funktion ist also bei 1 stetig erweiterbar. Wäre jetzt der neu entstandene Zähler an der Stelle 1 nicht Null, jedoch der neu entstandene Nenner, dann hätten wir bei 1 definitiv eine Polstelle. |
||||
| 04.02.2005, 14:32 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ich oben geschrieben habe: Die einzige Alternative ist eine Polstelle, die hier bei x=1 offensichtlich nicht vorliegt. Sowas wie eine Sprungstelle endlicher Höhe gibt es bei gebrochen rationalen Funktionen nicht, da musst du schon andere Funktionen bemühen. P.S.: x=1 ist hier doppelte Nullstelle, sowohl von Zähler als auch Nenner. |
||||
| 04.02.2005, 14:36 | AoG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, alles klar, Danke! Hab wieder viel dazu gelernt ! |
||||
| 04.02.2005, 14:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habs jetzt nachgerechnet. Bei mir kommt -5 raus. Kann es sein, dass du irgendwo einen Faktor 2 verloren hast? |
||||
| 04.02.2005, 14:41 | AoG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe bei aller Hastigkeit die Vielfachheit und somit den Faktor 2 vergessen, echt blöd, naja muss man durch ;-) |
||||
| 06.02.2005, 21:58 | rontho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich habe die Aufgabe auch gerechnet, hätte auch noch eine Frage. Ich habe die Linearfaktoren gekürzt, über bleibt nun folgendes: Jetzt habe ich die kritische Stelle x=1 eingesetzt, da kommt dann -5 heraus. Was sagt mir jetzt die -5? Was heißt überhaupt stetig Fortsetzbar? Will ich da was fortsetzten oder wie? (für die Frage krieg ich jetzt bestimmt ein Grammy 
) |
||||
| 06.02.2005, 22:54 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die -5 ist der Funktionswert bei 1, falls du f denn bei 1 erweitert/fortgesetzt hast. stetig fortsetzen heißt, dass wenn man eine Funktion f hat, die in einem Punkt nicht definiert ist, aber für x gegen diesen Punkt von links und von rechts den gleichen endlichen Grenzwert besitzt, dann kann man f in diesem Punkt fortsetzen und den Funktionswert in diesem Punkt = dem Grenzwert setzen. |
||||
| 07.02.2005, 00:02 | rontho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber hat die F denn den gleichen endlichen Grenzwert von links und rechts? Wenn ich mich von links dem Punkt x=1 nähere, dann fällt die Fkt. und wenn ich mich von rechts nähere, dann steigt die Fkt. Somit stimmen doch die Grenzwerte nicht überein? 
|
||||
| 07.02.2005, 00:12 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht tut sie das ja. Aber das sagt doch noch gar nichts aus! Die Grenzwerte können doch trotzdem übereinstimmen und das tun sie hier doch auch. |
||||
| 07.02.2005, 01:51 | rontho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank, ich glaube ich habs jetzt geschnallt. Habe jetzt nochmal lange darüber nachgedacht, will jetzt nochmal meine Gedanken äußern. 
Also, unsere Hauptfunktion beinhaltet ja die Linearfaktoren (x-1)(x-1) im Nenner, deshalb ist die Funktion am Punkt x=1 ja nicht definiert. Im Plot den ich oben gepostet habe, ist das ja sogar zu sehen. Wir haben jetzt also die beiden Faktoren im Nenner durch die selbigen im Zähler gekürzt. Deshalb ist unsere, jetzt zwar leicht veränderte, aber eigentlich immer noch gleiche Funktion, im Punkt x=1 definiert. Der Funktionswert ist hier also -5.
Jetzt versteh ich auch was Arthur gemeint hat. Wir benötigen ja im Zähler mindestens die gleiche Anzahl von Nullstellen, um alle im Nenner zu kürzen, sonst ergibt das ja eine Polstelle. Hoffe ich habe das jetzt richtig verstanden, kommt mir auf jeden Fall so vor. 
|
||||
| 07.02.2005, 09:03 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Schreibweise Der Volsltändigkeit halber hier auch die Schreibweise für die stetig fortgesetzte Funktion: Ist für die Klausur ganz gut 
|
||||
| 21.04.2009, 14:44 | hansi ;) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da fehlt das MINUS vor der 5 bei deiner Schreibweiße. aber sonst müsste alles passen
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
