Vektorieller Beweis

04.02.2005, 13:45	cosinuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorieller Beweis Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt. S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Wie kann ich das vektoriell beweisen?
04.02.2005, 17:17	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
Skizze vom Dreieck und den 3 Seitenhalbierenden zeichnen, damit zerlegst du das große Dreieck in 6 kleine. Die 6 kleinen benennen, I bis VI oder so. Eine Seitenhalbierende zerlegt ein Dreieck in 2 flächengleiche Teile (gleiche Grundseite und gleiche Höhe). Damit kriegst du 3 Gleichungen für die Flächen der kleinen Dreiecke. Die zu zeigende Aussage kannst du auch als Gleichung für die Flächen formulieren. Dann musst du nur noch ein bisschen die 3 Gleichungen umsortieren. Das ist mehr elemtargeormetrisch als Vektoriell aber ich hoffe es hilft trotzdem.
04.02.2005, 17:41	Yggr	Auf diesen Beitrag antworten »
du nimmst einen Vektorzug in dem die beiden Variablen drin vorkommen ( vom Wert her 1/3 und 2/3) und das drückst du mit den Seitenvektoren des Dreiecks aus. Es muss insgesamt ein Nullvektor sein, also du musst einmal rund gehen. Durch umformen musst du irgendwie auf nur 2 Vektoren kommen. Du musst es schaffen, dass eine Kombination aus 2 Vektoren den Nullvektor ergibt. Von den beiden Vektoren weiß man aber, dass sie beiden linear unabhängig sind (man kann den einen nicht durch den anderen ausdrücken).Wenn das den Nullvektor ergibt, dann muss das was vor den Vektoren steht vom Betrag her auch 0 ergeben. Dann hast du zwei Gleichungen mit zwei Variablen - kann man Lösen: Anfang: du nimmst folgendes Dreieck als Vektorzug: AMbS also vom Punkt A zum Mittelpunkt der Seite b zum Punkt S und wieder zurück zu A
04.02.2005, 19:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die blauen Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{u} = \overrightarrow{AB} \; , \ \vec{v} = \overrightarrow{AC} \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig. Drücke zunächst die Vektoren $\begin{eqnarray} \overrightarrow{M_bB} \; , \ \overrightarrow{CM_c} \end{eqnarray}$ als Linearkombinationen von $\begin{eqnarray} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray}$ aus und setze $\begin{eqnarray} \overrightarrow{M_bS} = \lambda \; \overrightarrow{M_bB} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{SM_c} = \mu \; \overrightarrow{CM_c} \end{eqnarray}$ Sobald du $\begin{eqnarray} \lambda, \mu \end{eqnarray}$ berechnet hast, ist die Aufgabe gelöst. (Die Rechnung soll am Ende natürlich $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{1}{3}, \mu = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ liefern.) Betrachte nun den geschlossenen roten Vektorzug. Er stellt den Nullvektor dar, d.h. die Vektorsumme ist $\begin{eqnarray} \vec{o} \end{eqnarray}$ . Drücke jeden roten Vektor als Linearkombination von $\begin{eqnarray} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray}$ aus und setze diese Ausdrücke in die Gleichung ein. Dabei dürfen, ja sollen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ in der Vektorgleichung vorkommen. Bringe die Gleichung auf die Form $\begin{eqnarray} ( \text{......} ) \; \vec{u} + ( \text{......} ) \; \vec{v} \ = \ \vec{o} \end{eqnarray}$ wobei die Skalare (Klammern) lineare Terme in $\begin{eqnarray} \lambda, \mu \end{eqnarray}$ sind. Beachte jetzt die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray}$ und löse das resultierende lineare Gleichungssystem. Statt mit dem eingezeichneten Vektorzug kannst du ebenso mit einem, der von $\begin{eqnarray} M_b \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ zurück nach $\begin{eqnarray} M_b \end{eqnarray}$ läuft, arbeiten.

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