Linearkombinationen

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tim taler Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombinationen
Hallo,

hier geht es prinzipiell auch um die lin. Abhängigkeit.
Es heißt ja:
"Wir nennen eine endliche Menge von Vektoren linear abhängig, wenn es möglich ist zumindest einen dieser Vektoren als Linearkombination der anderen auszudrücken." -> im umgekehrten Fall natürlich lin. unabhängig...
Nun meine Frage:
Gegeben seien beispielsweise drei Vektoren im R³.
a=(3,2,1) ; b=(13,-2,-7) ; c=(-2,4,5)
Wie stelle ich nun fest ob und ebenso welcher der drei Vektoren sich ggf. als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt?
Einfach ein lGS austellen mit der Form
a=r1*b + r2*c ???

Gruß, tt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

du löst folgendes homogene LGS:




mit
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombinationen
Zitat:
Original von tim taler
Es heißt ja:
"Wir nennen eine endliche Menge von Vektoren linear abhängig, wenn es möglich ist zumindest einen dieser Vektoren als Linearkombination der anderen auszudrücken." -> im umgekehrten Fall natürlich lin. unabhängig...

Besser bzw. klarer (jedenfalls für mein Empfinden) ist die Formulierung:

Eine Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur auf triviale Weise dargestellt werden kann, wenn also im Fall von 3 Vektoren gilt:


==>
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke!
Beim berechnen von

3 13 -2 |0
2 -2 4 |0
1 -7 5 |0

komme ich nun zu

1 -7 5 |0
0 6 -3|0
0 6 -3|0

was bedeutet dies nun und wie kann ich die Abhängigkeit ausdrücken?

Gruß, tt

EDIT: Habe den post von klarsoweit gerade erst gesehen.
Folglich haben wir die Bedingung r1=r2=r3=0 erfüllt und somit die lin. Abhängigkeit durch Lösen des LGS bewiesen.
Die Lösung in meinem Beispiel lautet aber b=3a-2c! Das bedeutet ja das sich b als Linearkombination von a und c darstellen lässt. Wie komme ich aber durch errechnen auf die genannte Ergebnissgleichung b=3a-2c?
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tim taler
1 -7 5 |0
0 6 -3|0
0 6 -3|0

was bedeutet dies nun und wie kann ich die Abhängigkeit ausdrücken?

Ich gehe davon aus, dass du das LGS richtig aufgelöst hast. Damit hast du gezeigt, dass die Vektoren linear abhängig sind, da die triviale Lösung nicht gilt!

Zitat:
Folglich haben wir die Bedingung r1=r2=r3=0 erfüllt und somit die lin. Abhängigkeit durch Lösen des LGS bewiesen.

Wir haben gezeigt, dass das nicht gilt! Daher l.a.
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich im LGS die Gleichung 2 von der Gleichung 3 abziehe bekomme ich doch r1=r2=r3=0. Das bedeutet als lin. unabhängig!!! OK
Aber meine 3 Vektoren sind lin. abhängig. Ist nun ein Fehler im LGS?

Gruß, tt
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du in deiner matrix, folgendes rechnest:

IIIa = III - II

dann hast du eine null-zeile, die immer erfüllt ist.

übrig bleiben 2 gleichungen mit 3 variablen. würdest du nun in der 2ten gleichung noch eine null erzeugen, z.b. durch:

IIa = 6*I + 7*II

so könntest du die lösungsmenge mit hilfe eines parameters leicht angeben.

dein LGS hat damit unendlich viele lösungen, und damit auch unendliche viele nichttrviale lösungen.

die verktoren sind also linear abhängig.
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

gut, danke.
kann ich dann zusammenfassend sagen, dass bei unendlich vielen Lösungen des LGS, das "Vektorsystem" lin. abhängig ist. Abhängig eigentlich immer sofern eben NICHT r1=r2=r3=0 gegeben ist (zur Verdeutlichung: es müssten also hier alle 3 Gleichungen 0=0 sein)
soweit richtig?

Gruß, tt
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tim taler
gut, danke.
kann ich dann zusammenfassend sagen, dass bei unendlich vielen Lösungen des LGS, das "Vektorsystem" lin. abhängig ist. Abhängig eigentlich immer sofern eben NICHT r1=r2=r3=0 gegeben ist (zur Verdeutlichung: es müssten also hier alle 3 Gleichungen 0=0 sein)
soweit richtig?

Gruß, tt

Ja, teils.
Es müssen alle 3 Koeffizienten 0 sein(nicht die Gleichungen).
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke!
Eine Frage bleibt aber, "Wie komme ich aber durch errechnen auf die genannte Ergebnissgleichung b=3a-2c?"
Denn das war das vorgegebene Ergebnis. Wir haben es nun zwar auch ohne "dieses" bewiesen, interessieren würde mich das aber trotzdem.

Gruß, tt
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tim taler
Eine Frage bleibt aber, "Wie komme ich aber durch errechnen auf die genannte Ergebnissgleichung b=3a-2c?"
Denn das war das vorgegebene Ergebnis. Wir haben es nun zwar auch ohne "dieses" bewiesen, interessieren würde mich das aber trotzdem.


Also- Wie gesagt, gibt es unendlich viele Lösungen. Die "Ergebnisgleichung" ist eine von den unendlich vielen Lösungen. Hier wurde für Vektor b für und für

Das ist ein Beispiel wie man mit die Vektoren a und c den Vektor b darstellen kann.

Gerechnet wurde einfach so:



Alles eingesetzt und und berechnen, wenn wir wählen.
Entwedér zeigst du die lineare Abhängigkeit allgemein(s. oben) oder du wählst baust mit 2 Vektoren eine Linearkombination für die Darstellung eines andere Vektors auf(Ergebnisgleichung; konkretes Ergebnis)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zur lin. Ab- bzw. Unabhängigkeit siehe auch, was in

Lineare Un- bzw. Abhängigkeit

erst kürzlich behandelt wurde!

mY+
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte auch gerade den "Durchblick"
Habe ein lin. GS aufgestellt, wie folgt
a=r*b+s*c wie im ersten post angedacht...
(a bekommt also keinen Faktor!!!, daher auch Linearkombination von einem mit den beiden anderen...)
nun habe ich r und s errechnet anhand Gleichung I und II und habe die Resultate in III eingesetzt, siehe da, die Behauptung
1=-7*r + 5*s (mit r=1/3 und s=2/3) 1= -7*1/3 + 5*2/3 ist wahr!
Damit ist die lineare Abhängikeit durch Linearkombination bewiesen!
Die Abhängigkeit aus dem Beispiel b=3a-2c bedeutet ja auch
a=(b+2*c)/3 also a=1/3*b + 2/3*c
un dies entspricht der obigen Ausgangsgleichung
a=r*b+s*c
mit (r und s)
a=1/3*b + 2/3*c

Soweit wäre es bewiesen.
Danke allen nochmals für die Hilfe! Die Variante "Nullvektor" ist da ja auch sehr hilfreich und kommt wohl ziemlich aufs Gleiche raus.
Nun ist mir zwischendurch nochwas eingefallen.
Wir haben ja 3 Vektoren im R³. Das heißt doch wenn wir das Spatprodukt dieser drei bilden und das Ergebnis =0 ist, dann müssen sie linear abhängig sein. Habs mal schnell durchgerechnet und
(a x b)*c ist tatsächlich Null.
Also Spatprodukt ist wohl die schnellste Variante wies aussieht.
Die beiden anderen Varainten nehm ich dann zur Probe Augenzwinkern

Gruß, tt
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In Wirklichkeit hat in der Linearkombination, die den Nullvektor darstellt, ebenfalls auch a einen Faktor, nämlich -1! Dahin lässt sich die Gleichung entsprechend umstellen.

Das mit dem Spatprodukt ist richtig. Es stellt nämlich ein Volumen dar und wenn dieses Null ist, sind die Vektoren komplanar (liegen in einer Ebene).

mY+
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch! Wink

Gruß, tt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tim taler
Habe ein lin. GS aufgestellt, wie folgt
a=r*b+s*c wie im ersten post angedacht...
(a bekommt also keinen Faktor!!!, daher auch Linearkombination von einem mit den beiden anderen...)

Diese "speziellen" Ansätze haben leider den Nachteil, daß sie nicht immer funktionieren. Nimm z. B. die Vektoren:




Da läßt sich der Vektor a nicht aus den anderen beiden linear kombinieren. Sind die 3 Vektoren nun linear abhängig oder unabhängig?
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