Existenz von Wendepunkte |
05.02.2005, 13:37 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Existenz von Wendepunkte f''(x)=0 f'''(x)!=0 !=(Ungleich) Warum muss man prüfen ob die 3. Ableitung ungleich Null ist? Was würde denn Vorliegen, wenn f'(x)!=0 f''(x)=0 f'''(x)=0 ? Das dürfte ja dann kein Sattelpunkt sein, oder? |
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05.02.2005, 14:04 | Checka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was bedeutet das "!"? Fakultät wohl nicht oder? Ich weiß auch nur, dass wenn f'''(x) ungleich Null, es dann kein Wende-, sondern ein Sattelpunkt ist. Wenn ich wüßte was du mit "!" meinst könnt ich vl mal weiterschauen. MfG |
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05.02.2005, 14:06 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Checka FALSCH @Gast Wenn ein Wendepunkt vorliegt, muss die 2. Ableitung einen Vorzeichenwechsel besitzen bzw. ungleich 0 sein. Ein Sattelpunkt ist nichts anderes als ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, d.h also an diese Stelle gilt und zudem muss der VZW der 2. Ableitung vorliegen oder sein |
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05.02.2005, 14:08 | Checka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
lol, hast ja Recht, war ein Denkfehler. Wenn f'''(x)=0 ist, dann ist es nen Sattelpunkt! Greetz! |
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05.02.2005, 14:09 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Checka wieder falsch mit != meint Gast ungleich, das steht auch oben dabei |
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05.02.2005, 14:11 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit != meinte ich ungleich .. Das habe ich ja oben auch so beschrieben. bei f'(x)=0 , f''(x)=0 und f'''(x)=0 ist es ein Sattelpunkt. Das ist mir klar! Aber was ist wenn f'(x) ungleich 0 ist?! |
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05.02.2005, 14:12 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lies bitte oben meinen Beitrag. |
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05.02.2005, 14:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Betrachte mal die Funktionen und an der Stelle x=0: Das gibt dir vielleicht eine Ahnung, was alles auftreten kann. EDIT: Oh oh, rege Diskussion - da habe ich glatt FÜNF Beiiträge nicht gelesen, bevor ich das verfasst habe. Egal, die Skizzen sind vielleicht trotzdem noch hilfreich. |
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05.02.2005, 14:32 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Arthur, die Funktionen sind echt hilfreich zum Verständnis. Aber mit habe ich eine Problem. Die zweite Ableitung lautet ja f''(x)=20x³ und die dritte Ableitung f'''(x)=60x². Sowohl f''(x) als auch f'''(x) haben für x=0 den Wert Null. Aber laut der Skizze ist bei x=0 ein Wendepunkt. Das widerspricht ja total der Lehrbuchdefinition, dass die zweite Ableitung gleich Null sein muss und die dritte Ableitung ungleich Null. |
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05.02.2005, 14:35 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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05.02.2005, 14:35 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entweder hast du ein schlechtes Lehrbuch, oder du hast nicht richtig gelesen - ich vermute das letztere. f''(x)=0. f'''(x) != 0 ist eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt, aber (wie das Beispiel zeigt) keine notwendige! |
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05.02.2005, 15:36 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke an alle, ich glaube jetzt habe ich es kapiert . Ich fasse nochmals kurz für mich zusammen: Die 2. Ableitung muss einen Vorzeichenwechsel besitzen bedeutet ja nichts als: Sie muss gleich Null sein und und darf keinen Extremwert an der Wendestelle besitzen, daher ist f'''(x)!=0 hinreichend. Wenn f''(x)=0 und f'''(x)=0 ist, kann die zweite Ableitung nur ihr Vorzeichen wechseln, wenn ein Sattelpunkt der zweiten Ableitung vorherrscht, also f'''(x)=0, f''''(x)=0 und f'''''(x)!=0. Habe ich das jetzt richtig verstanden? |
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05.02.2005, 15:38 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Sattelpunkt ist nichts anderes als ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, d.h also an diese Stelle gilt und zudem muss der VZW der 2. Ableitung vorliegen oder sein. kurz: Sattelpunkt wenn |
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05.02.2005, 15:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Noch nicht so ganz: Betrachte und : Das kann ich noch beliebig fortsetzen... |
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05.02.2005, 16:23 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@iammrvip Ich habe ja auch vom Sattelpunkt der 2. Ableitung gesprochen. @arthur In meiner Prüfung kommen maximal Funktionen 4. Grades dran und da sollt ich doch mit meiner Theorie hinkommen. Und meine Theorie war ja nur hinreichend . Bei muss man sich bestimmt bis zur 7.Ableitung durchkämpfen. Darüber mach ich mir dann beim Studium Gedanken. Aber nochmals Danke |
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05.02.2005, 17:06 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nur mal eine Zwischenfrage: Zu was brauchst du denn den Sattelpunkte der 2. Ableitung |
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05.02.2005, 18:53 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gegenfrage: Bestimmte den Wendepunkt von ? . |
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05.02.2005, 19:03 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
auch wenn ich nicht weiß, was das mit meiner Frage zu tun hat . |
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05.02.2005, 19:09 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus der Skizze ablesen ist ja einfach. Wie würdest du ihn rechnerisch bestimmen? |
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05.02.2005, 19:12 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab das rechnerisch gemacht! Die Funktion angeguckt.... Du mussst die 2. Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen. Dann wählst du eine Wert links der Stelle und rechts der Stelle und bestimmst f von diesem Wert. Wenn sich das Vorzeichen der beiden Werte unterscheidet liegt ein Vorzeichenwechsel vor, also dann dort ein Wendepunkt. (Hinweis: ) |
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05.02.2005, 19:21 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also mit nem Wert links nehmen und einen Wert rechts nehmen finde ich mathematisch nicht exakt. Wer sagt dir denn, dass in einer unendlich kleinen Umgebung von x die Vorzeichen nicht wechseln? f'''(x)=0 => Daraus kannst du nicht auf einen Vorzeichenwechsel schließen f'''(x) ist die 1. Ableitung von f''(x). f'''(0)=0 kann daher entweder bedeuten, dass f''(x) an der Stelle x=0 ein Extremwert ist und demnach findet an der Stelle x=0 kein Vorzeichenwechsel statt. f'''(0)=0 kann aber auch bedeuten, dass an der Stelle x=0 die Funktion f''(x) einen Sattelpunkt hat und demnach ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Da f''''(0)=0 und f'''''(x)!=0 hat die Funktion f''(x) an der Stelle x=0 einen Sattelpunkt. Also findet ein Vorzeichenwechsel statt und die Existenz des Wendepunktes an x=0 ist bewiesen. Alles klar jetzt? |
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05.02.2005, 19:28 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
für das bisschen Schulmathematik reicht das alle mal... @Gast der die Frage stellte Es ist auch hinreichend, wenn die nächste von 0 verschiedene höhere Ableitung ungerade ist. Das liegt hier bei vor. |
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05.02.2005, 19:32 | Ruffy87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm... "Also mit nem Wert links nehmen und einen Wert rechts nehmen finde ich mathematisch nicht exakt. Wer sagt dir denn, dass in einer unendlich kleinen Umgebung von x die Vorzeichen nicht wechseln?" Warum überlegst du nicht, wie du das exakt machen kannst und sagst mir das auch? Du bist einer, der es sich besonders einfach machen möchte. Viel Erfolg! |
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05.02.2005, 19:33 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: hmmm... Habe ich doch oben schon beschrieben ... |
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05.02.2005, 19:33 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, so wird aber in der Oberstufe als zweite Möglichkeit vermittelt... Wenn nutzt den VZW der Funktion an der Stelle. Wenn das bei euch nicht so ist, tut es mir Leid.... |
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05.02.2005, 19:40 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um iammrvip zu unterstützen: Als besondere Spezialität für alle "Ableitungsgläubigen" werfe ich mal in die Runde. Alle, wirklich alle Ableitungen an der Stelle x=0 sind Null. Was liegt dort nun vor - lokaler Extrempunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt oder gar nichts von all dem? |
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05.02.2005, 19:40 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe ich doch auch nicht bestritten |
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05.02.2005, 20:00 | Tolga | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Di Funktion muss an der Stelle sicher stetig sein. Was soll denn das jetzt? Tztzz... MfG. |
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05.02.2005, 20:17 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gemäß dem Graphen ist es ein Sattelpunkt. Kannst du das auch noch einfach mathematisch begründen arthur dent? |
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05.02.2005, 20:29 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich kann ich das: Es ist f(0)=f'(0)=f''(0)=0, sowie f''(x)<0 für alle -1<x<0 und f''(x)>0 für alle 0<x<1. Damit liegt ein Vzw der zweiten Ableitung vor und somit ist (0,0) ein Wendepunkt. (Die Formeln für erste und zweite Ableitung spar ich mir hier, kannst du selber ausrechnen.) EDIT: Tolga, falls du auf meine Funktion anspielst - die ist nicht nur stetig, sondern beliebig oft stetig differenzierbar, und zwar für alle x einschließlich Null. |
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05.02.2005, 20:30 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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05.02.2005, 20:47 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na ich hoffe mal, das bezieht sich auf Tolgas törichte Anmerkung, und nicht auf mein Beispiel. |
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05.02.2005, 20:50 | iammrvip | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. |
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