Existenz von Wendepunkte

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Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz von Wendepunkte
Ich versuche mich gerade per Fernstudium auf meine Abiprüfung Mathe-GK vorzubereiten. Bei Wendepunkten habe ich aber ein kleines Problem. Gemäß meinen Unterlagen muss für einen Wendepunkt gelten:

f''(x)=0
f'''(x)!=0 !=(Ungleich)

Warum muss man prüfen ob die 3. Ableitung ungleich Null ist? Was würde denn Vorliegen, wenn

f'(x)!=0
f''(x)=0
f'''(x)=0
?

Das dürfte ja dann kein Sattelpunkt sein, oder?
Checka Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet das "!"?
Fakultät wohl nicht oder?

Ich weiß auch nur, dass wenn f'''(x) ungleich Null, es dann kein Wende-, sondern ein Sattelpunkt ist.
Wenn ich wüßte was du mit "!" meinst könnt ich vl mal weiterschauen.

MfG
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

@Checka
FALSCH

@Gast
Wenn ein Wendepunkt vorliegt, muss die 2. Ableitung einen Vorzeichenwechsel besitzen bzw. ungleich 0 sein.

Ein Sattelpunkt ist nichts anderes als ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, d.h also an diese Stelle gilt und zudem muss der VZW der 2. Ableitung vorliegen oder sein
Checka Auf diesen Beitrag antworten »

lol,
hast ja Recht, war ein Denkfehler.
Wenn f'''(x)=0 ist, dann ist es nen Sattelpunkt!

Greetz!
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

@Checka
wieder falsch

mit != meint Gast ungleich, das steht auch oben dabei Augenzwinkern
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Mit != meinte ich ungleich .. Das habe ich ja oben auch so beschrieben.

bei f'(x)=0 , f''(x)=0 und f'''(x)=0 ist es ein Sattelpunkt. Das ist mir klar! Aber was ist wenn f'(x) ungleich 0 ist?!
 
 
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Lies bitte oben meinen Beitrag.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte mal die Funktionen und an der Stelle x=0:



Das gibt dir vielleicht eine Ahnung, was alles auftreten kann.


EDIT: Oh oh, rege Diskussion - da habe ich glatt FÜNF Beiiträge nicht gelesen, bevor ich das verfasst habe. Egal, die Skizzen sind vielleicht trotzdem noch hilfreich.
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Arthur,

die Funktionen sind echt hilfreich zum Verständnis. Aber mit habe ich eine Problem. Die zweite Ableitung lautet ja f''(x)=20x³ und die dritte Ableitung f'''(x)=60x². Sowohl f''(x) als auch f'''(x) haben für x=0 den Wert Null. Aber laut der Skizze ist bei x=0 ein Wendepunkt. Das widerspricht ja total der Lehrbuchdefinition, dass die zweite Ableitung gleich Null sein muss und die dritte Ableitung ungleich Null.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
@Gast
Wenn ein Wendepunkt vorliegt, muss die 2. Ableitung einen Vorzeichenwechsel besitzen bzw. ungleich 0 sein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast
Das widerspricht ja total der Lehrbuchdefinition, dass die zweite Ableitung gleich Null sein muss und die dritte Ableitung ungleich Null.


Entweder hast du ein schlechtes Lehrbuch, oder du hast nicht richtig gelesen - ich vermute das letztere.

f''(x)=0. f'''(x) != 0 ist eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt, aber (wie das Beispiel zeigt) keine notwendige!
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Danke an alle,
ich glaube jetzt habe ich es kapiert Augenzwinkern .

Ich fasse nochmals kurz für mich zusammen:
Die 2. Ableitung muss einen Vorzeichenwechsel besitzen bedeutet ja nichts als: Sie muss gleich Null sein und und darf keinen Extremwert an der Wendestelle besitzen, daher ist f'''(x)!=0 hinreichend.

Wenn f''(x)=0 und f'''(x)=0 ist, kann die zweite Ableitung nur ihr Vorzeichen wechseln, wenn ein Sattelpunkt der zweiten Ableitung vorherrscht, also f'''(x)=0, f''''(x)=0 und f'''''(x)!=0.

Habe ich das jetzt richtig verstanden? Hammer
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Sattelpunkt ist nichts anderes als ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, d.h also an diese Stelle gilt und zudem muss der VZW der 2. Ableitung vorliegen oder sein.

kurz: Sattelpunkt wenn

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast
Wenn f''(x)=0 und f'''(x)=0 ist, kann die zweite Ableitung nur ihr Vorzeichen wechseln, wenn ein Sattelpunkt der zweiten Ableitung vorherrscht, also f'''(x)=0, f''''(x)=0 und f'''''(x)!=0.

Habe ich das jetzt richtig verstanden? Hammer

Noch nicht so ganz: Betrachte und :



Das kann ich noch beliebig fortsetzen... Augenzwinkern
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

@iammrvip
Ich habe ja auch vom Sattelpunkt der 2. Ableitung gesprochen.

@arthur
In meiner Prüfung kommen maximal Funktionen 4. Grades dran und da sollt ich doch mit meiner Theorie hinkommen.
Und meine Theorie war ja nur hinreichend Augenzwinkern .
Bei muss man sich bestimmt bis zur 7.Ableitung durchkämpfen. Darüber mach ich mir dann beim Studium Gedanken.

Aber nochmals Danke
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

nur mal eine Zwischenfrage: Zu was brauchst du denn den Sattelpunkte der 2. Ableitung verwirrt
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenfrage:
Bestimmte den Wendepunkt von ? Augenzwinkern .
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

auch wenn ich nicht weiß, was das mit meiner Frage zu tun hat verwirrt .
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Skizze ablesen ist ja einfach. Wie würdest du ihn rechnerisch bestimmen?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das rechnerisch gemacht! Die Funktion angeguckt....

Du mussst die 2. Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen. Dann wählst du eine Wert links der Stelle und rechts der Stelle und bestimmst f von diesem Wert. Wenn sich das Vorzeichen der beiden Werte unterscheidet liegt ein Vorzeichenwechsel vor, also dann dort ein Wendepunkt. (Hinweis: )
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit nem Wert links nehmen und einen Wert rechts nehmen finde ich mathematisch nicht exakt. Wer sagt dir denn, dass in einer unendlich kleinen Umgebung von x die Vorzeichen nicht wechseln?

f'''(x)=0 => Daraus kannst du nicht auf einen Vorzeichenwechsel schließen

f'''(x) ist die 1. Ableitung von f''(x).

f'''(0)=0 kann daher entweder bedeuten, dass f''(x) an der Stelle x=0 ein Extremwert ist und demnach findet an der Stelle x=0 kein Vorzeichenwechsel statt. f'''(0)=0 kann aber auch bedeuten, dass an der Stelle x=0 die Funktion f''(x) einen Sattelpunkt hat und demnach ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
Da f''''(0)=0 und f'''''(x)!=0 hat die Funktion f''(x) an der Stelle x=0 einen Sattelpunkt. Also findet ein Vorzeichenwechsel statt und die Existenz des Wendepunktes an x=0 ist bewiesen.

Alles klar jetzt?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

für das bisschen Schulmathematik reicht das alle mal...

@Gast der die Frage stellte
Es ist auch hinreichend, wenn die nächste von 0 verschiedene höhere Ableitung ungerade ist. Das liegt hier bei vor.
Ruffy87 Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm...
"Also mit nem Wert links nehmen und einen Wert rechts nehmen finde ich mathematisch nicht exakt. Wer sagt dir denn, dass in einer unendlich kleinen Umgebung von x die Vorzeichen nicht wechseln?"

Warum überlegst du nicht, wie du das exakt machen kannst und sagst mir das auch?

Du bist einer, der es sich besonders einfach machen möchte. Viel Erfolg!
Gast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: hmmm...
Habe ich doch oben schon beschrieben ... verwirrt
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, so wird aber in der Oberstufe als zweite Möglichkeit vermittelt...

Wenn nutzt den VZW der Funktion an der Stelle.

Wenn das bei euch nicht so ist, tut es mir Leid....
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Um iammrvip zu unterstützen: Als besondere Spezialität für alle "Ableitungsgläubigen" werfe ich mal



in die Runde. Alle, wirklich alle Ableitungen an der Stelle x=0 sind Null.

Was liegt dort nun vor - lokaler Extrempunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt oder gar nichts von all dem? Big Laugh
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich doch auch nicht bestritten
Tolga Auf diesen Beitrag antworten »

Di Funktion muss an der Stelle sicher stetig sein. Was soll denn das jetzt?
Tztzz...

MfG.
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Um iammrvip zu unterstützen: Als besondere Spezialität für alle "Ableitungsgläubigen" werfe ich mal



in die Runde. Alle, wirklich alle Ableitungen an der Stelle x=0 sind Null.

Was liegt dort nun vor - lokaler Extrempunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt oder gar nichts von all dem? Big Laugh


Gemäß dem Graphen ist es ein Sattelpunkt. Kannst du das auch noch einfach mathematisch begründen arthur dent?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann ich das:

Es ist f(0)=f'(0)=f''(0)=0, sowie f''(x)<0 für alle -1<x<0 und f''(x)>0 für alle 0<x<1. Damit liegt ein Vzw der zweiten Ableitung vor und somit ist (0,0) ein Wendepunkt. (Die Formeln für erste und zweite Ableitung spar ich mir hier, kannst du selber ausrechnen.)


EDIT: Tolga, falls du auf meine Funktion anspielst - die ist nicht nur stetig, sondern beliebig oft stetig differenzierbar, und zwar für alle x einschließlich Null.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tolga
Di Funktion muss an der Stelle sicher stetig sein. Was soll denn das jetzt?
Tztzz...

verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich hoffe mal, das verwirrt bezieht sich auf Tolgas törichte Anmerkung, und nicht auf mein Beispiel.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
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