Probleme bei 3 Aufgabentypen

05.02.2005, 14:43

PostalService

Probleme bei 3 Aufgabentypen

Hallo,

lerne fleißig für die Mathe I - Klausur nächsten Freitag...habe mir dazu alte Klausuren besorgt und finde bei folgenden 3 Aufgabentypen keinen rechten Ansatz:

1.) "Berechnen Sie einen Näherungswert für f(x) mit x=1.8, indem Sie die ersten drei Glieder der Reihe benutzen und schätzen Sie den Fehler F ab:"

$\begin{eqnarray*} F = \mid f(x) \ - \sum_{n=1}^3~ \begin{pmatrix} n+2 \\ 3 \end{pmatrix} \frac{1}{2*n^{3}} (x-2)^n \mid \end{eqnarray*}$

Höchstwahrscheinlich irgendwas mit Taylorreihe...

2.) "Berechnen Sie den Grenzwert der rekursiv definierten Folge! Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass die Folge konvergiert!"

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{3}-x_{n}^{2}+2}{3x_{n}^{2}-2x_{n}+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=2, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

3.) "Zeigen Sie, dass die geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{n=0}^\infty~(-1)^{n}(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i)^{n} \end{eqnarray*}$

konvergiert. Berechnen Sie S in der Form S = a + bi mit a,b € R.

Vielen Dank für Eure Hilfestellung!

05.02.2005, 15:58

mountainflower

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Hallo PostalService,

zur Aufgabe 2 haette ich eine Idee:

Du kannst ja voraussetzen, dass die Folge konvergiert. Also sagst Du:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n}=c \end{eqnarray*}$

Nun kannst Du aber auch sagen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n+1}=c \end{eqnarray*}$

Wenn Du jetzt das eine ins andere einsetzt, dann kriegst Du eine Gleichung fuer c, die Du loesen musst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n+1}=\frac{2*c^3-c^2+2}{3*c^2-2*c+2}=c \end{eqnarray*}$

Gruss,
mountainflower

05.02.2005, 16:28

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Zu 3.) Du kennst hoffentlich den Reihenwert der geometrischen Reihe, also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Das gilt für alle x mit |x|<1, egal ob nun x reell oder komplex ist!

05.02.2005, 17:54

PostalService

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Ok, das hilft mir schonmal sehr weiter! Danke...

Bliebe nur noch 1.)

verwirrt

08.02.2005, 14:21

PostalService

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Bei 2. habe ich als Grenzwert 1 heraus!

Die Reihenwert S ist bei 3. $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i \end{eqnarray*}$ , da der Betrag von $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ ist...

Stimmt das alles soweit?

Nur zur bei der ersten Aufgabe fällt es mir immer noch schwer einen Einstieg zu bekommen. Da in vielen alten Klausuren so ein Aufgabentyp dran kommt, wäre es prima, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet...

Danke

Zitat:

Bleibe beim Lernen immer an folgendem Aufgabentyp hängen:

Gegen ist die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=1}^\infty~ \begin{pmatrix} n+2 \\ 3 \end{pmatrix} \frac{1}{2*n^{3}} (x-2)^n \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius und geben Sie das Konvergenzintervall an (Untersuchung auf dem Rand ist nicht erforderlich).

b) Berechnen Sie einen Näherungswert für f(x) mit x=1.8, indem Sie die ersten drei Glieder der Reihe benutzen und schätzen Sie den Fehler F ab:

$\begin{eqnarray*} F = \mid f(x) \ - \sum_{n=1}^3~ \begin{pmatrix} n+2 \\ 3 \end{pmatrix} \frac{1}{2*n^{3}} (x-2)^n \mid \end{eqnarray*}$

a
zu a)

Konvergenzradius über $\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty} \mid \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \mid \end{eqnarray*}$ habe ich errechnet.

Da kommt r = 1 heraus; also ist das Konvergenzintervall ja $\begin{eqnarray*} \mid x-2 \mid < 1 \end{eqnarray*}$ , da ich ja =1 ausschließen muss, weil ich ja nicht untersucht habe.

zu b)

Hier habe ich meine Probleme und bräuchte eine Starthilfe...

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte unterlasse solche Pushposts! Die Aufgabenstellung dürfte doch klar sein, da musst du sie nicht nochmal posten! (MSS)

10.02.2005, 09:49

PostalService

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Sorry @MSS!

Ich bin nur etwas angespannt, da morgen die Klausur angesetzt ist und ich mit dieser Aufgabe nichts anfangen kann...

So, habe mich jetzt mal in Rueh drangesetzt und bin zu Folgendem gekommen:

Ich rechne einfach die ersten 3 Glieder mit x = 1,8 aus und sage dann, dass der Fehler <= des 4. Gliedes ist.

Wenn's so wäre, wäre es eine erstaunlich einfache Sache...

Danke!

10.02.2005, 10:36

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Das mit dem vierten Reihenglied als maximaler Fehler könnte für x=1.8<2 noch klappen (alternierende Reihe), für x>2 ist das aber definitiv falsch.

Seriöser wäre folgende Abschätzung für $\begin{eqnarray*} R(x) := \sum\limits_{n=4}^{\infty} {n+2\choose 3}\frac{1}{2n^3} (x-2)^n= \sum\limits_{n=4}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{12n^2} (x-2)^n \end{eqnarray*}$ :

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)}{12n^2}=\frac{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)\left(1+\displaystyle\frac{2}{n}\right)}{12}\leq\frac{\left(1+\displaystyle\frac{1}{4}\right)\left(1+\displaystyle\frac{2}{4}\right)}{12}=\frac{5}{32} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ . Also gilt

$\begin{eqnarray*} |R(x)| \leq \frac{5}{32}\sum\limits_{n=4}^{\infty} |x-2|^n=\frac{5}{32}\cdot\frac{|x-2|^4}{1-|x-2|} \end{eqnarray*}$

im Konvergenzbereich 1 < x < 3 der Potenzreihe.

10.02.2005, 16:53

PostalService

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Danke für die ausführliche Antwort....

Wenn ich das richtig verstanden haben, kann ich bei einem Punkt a den Fehler aber auf dem "einfachen" Weg abschätzen, solange a innerhalb des Konvergenzbereiches liegt.

Ich denke nämlich, dass das bei uns immer so sein wird, aber ich die andere Abschätzung noch nie gesehen habe. Studier' schließlich auch kein Mathe.. ;-)

10.02.2005, 17:05

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Vielleicht war das oben nicht deutlich genug:

Für 2<x<3 ist deine Potenzreihe konvergent, das Restglied ist aber größer als das vierte Reihenglied. Deine "einfache" Abschätzung ist in diesem Bereich also schlichtweg falsch.

11.02.2005, 17:03

PostalService

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Wollte mich bei allen hier bedanken, dir mir weitergeholfen haben...Klausur lief super! Prost

Nerv' euch dann in 6 Monaten wieder!!! Rock

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Probleme bei 3 Aufgabentypen

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