Symmetrische Matrix

Neue Frage »

09.07.2007, 12:30	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Matrix Hhuh, ich suche eine reelle symmetrische (2x2) Matrix M. Die Eigenwerte sind $\begin{eqnarray} \lambda_1=3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2=1 \end{eqnarray}$ . Der Eigenvektor zu $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \vec{x_1} =\frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) gesucht ist nun der normierte Eigenvektor zu $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ da es sich hier um eine symmetrische matrix handelt, sind ja die eigenvektoren orthogonal zueiander d.h. ich könnte doch einfach sagen: $\begin{eqnarray} \vec{x_2} =\frac{1}{\sqrt{2} }\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder wie mach ich das? b) Mit den Ergebnissen aus b) soll ich nun durch basistransformation die Matrix M bestimmen.. kann ich da jetzt die diagonalmatrix (aus den eigenwerten) irgendwie rücktransformieren? aber wozu brauch ich da die eigenvektoren? danke schonmal mfg meli
09.07.2007, 13:59	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, a) ist vollkommen richtig gelöst. Mit $\begin{eqnarray} S=(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ (die Eigenvektoren sind die Spalten der Matrix) gilt dann $\begin{eqnarray} S^{-1}MS = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus kannst du M berechnen. Gruß, therisen
09.07.2007, 14:55	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
ah danke ! nur verstehe ich jetzt nicht wie ich damit M berechnen kann? Ich kann die Gleichung ja schlecht nach M umstellen.. Matrix division geht ja nicht oder? Oder hab ichs jetzt falsch verstanden mfg meli
09.07.2007, 14:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Na also von Matrixdivision wollen wir doch mal Abstand nehmen. $\begin{eqnarray} S^{-1}MS = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was passiert, wenn man von Links mit $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und von rechts mit $\begin{eqnarray} S^{-1} \end{eqnarray}$ multipliziert?
09.07.2007, 15:06	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
kürzt sich dann beides weg oder? also dann: $\begin{eqnarray} M = S \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} S^{-1} \end{eqnarray}$
09.07.2007, 15:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib es halt einmal hin. Kürzen, naja... aber was ist denn $\begin{eqnarray} SS^{-1} \end{eqnarray}$ ? EDIT: Genau so...
Anzeige

09.07.2007, 15:26	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok danke das bekomm ich hin was anderes: in der aufgabe stand auch noch diese matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 2i \\ b & 0 & c \\ d & -2+i & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und zwar soll ich b,c und d so bestimmen, dass B hermitesch ist! also da gilt ja das hier: $\begin{eqnarray} A=A^=A^T(konjugiert) \end{eqnarray}$ dann müsste doch b=5, c=-2-i und d=-2i stimmen oder? $\begin{eqnarray} A=A^=A^T(konjugiert)=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 2i \\ 5 & 0 & -2-i \\ -2i & -2+i & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
09.07.2007, 15:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib doch das A mal mit in Latex Hermitisch ist wohl nicht das gleiche wie symmetrisch
09.07.2007, 15:31	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wenn ich diese matrix konjugiere und transponiere komme ich doch wieder auf das selbe?!
09.07.2007, 15:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Konjugieren hast du ja auch jetzt erst hingeschrieben
09.07.2007, 15:41	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
ja du bist soo schnell da komm ich nicht nach :-P aber stimmt das nun so?
09.07.2007, 16:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 2i \\ b & 0 & c \\ d & -2+i & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^=\overline{A}^T = \begin{pmatrix} 1 & \overline{b} & \overline{d} \\ 5 & 0 & -2-i \\ -2i & \overline{c}& 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \overline{b} = 5 \Rightarrow b=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \overline{c} = -2+i \Rightarrow c=-2-i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \overline{b} = 2i \Rightarrow d=-2i \end{eqnarray*}$
09.07.2007, 16:07	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja genau danke ;-)

Neue Frage »

Antworten »

Symmetrische Matrix

Verwandte Themen