Inhomogene DGL

05.02.2005, 18:08

Helmut1973

Inhomogene DGL

Hallo zusammen,

ich sitze hier mit meiner Freundin und wir zerbrechen uns den Kopf bezüglich einer Aufgabe:

2*x´´+3*x´+10 *x=sin(2t)+1

Wie sind die Lösungsansätze. Das einzige was wir wissen, ist, das man zuerst den homogenen Teil lösen muss, der homogene plus dem inhomogenen die Lösung ergibt und noch irgendwie die Störfunktion da hinein zu denken ist. Wir sind Anfänger. Bitte helft uns.

Vielen lieben Dank
Gaby und Helmut

05.02.2005, 18:15

Seimon

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RE: Inhomogene DGL
oke zuerst mal zur homogenen Lösung:

wisst ihr wie ihr da rangeht? wie weit seit ihr gekommen?

05.02.2005, 18:18

riwe

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RE: Inhomogene DGL
schaut mal da
werner

05.02.2005, 18:47

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RE: Inhomogene DGL
Das Bestimmen der homogenen Lösungen sollte nach den Tipps nun klar sein.

Zum Auffinden einer inhomogenen Lösung ist bei dieser speziellen rechten Seite folgender Ansatz hilfreich:

$\begin{eqnarray*} x(t)=a\cos(2t)+b\sin(2t)+c \end{eqnarray*}$

Zur Bestimmung von a,b,c in die Dgl einsetzen und dann Koeffizientenvergleich.

05.02.2005, 18:49

Mazze

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Kennt ihr schon die Methode der Variation der Konstanten? Damit findet man recht sicher eine Lösung der inhomogenen DGL ist aber halt mehr schreibaufwand.

05.02.2005, 19:54

Helmut1973

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RE: Inhomogene DGL
Vielen lieben Dank. Die Seite kennen wir schon. Da sind wir leider nicht viel weiter gekommen. Das Problem ist, dass wir eine Lösung erwarten, die einen "Sinn" ergibt. Leider haben wir aber über dem Doppelstrich, sprich als Lösung immer das Gefühl noch nicht fertig zu sein.

Gruß

Gaby und Helmut

05.02.2005, 20:05

Seimon

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RE: Inhomogene DGL
Schreibt mal eure Lösung rein!

Gibts zu der DGL auch Anfangsbedingungen?

05.02.2005, 23:30

Helmut1973

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Unsere Lösung:

$\begin{eqnarray*} x(t)=e^{-\frac{3}{4t}}\left(\frac{3}{\sqrt{\frac{71}{16}}} \sin\left(\sqrt{\frac{71}{16}}\cdot t\right)+\cos\left(\sqrt{\frac{71}{16}}\cdot t\right)\right)+\frac{\sin(2t)}{10} - \frac{\cos(2t)}{30} + \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Lg
Gaby und Helmut Hammer

Anfangsbedingungen waren:

x(t=0)=1; x´(t=0)=0

Danke Hilfe

edit: latex-Code eingefügt (ist der richtig oder hab ich was falsch hingeschrieben?) und Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

05.02.2005, 23:51

Seimon

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ich vermute ihr habt die anfangsbedingungen nur in die homogene Lösung eingearbeitet, lieg ich da richtig? Augenzwinkern

(bitte mach noch latex-tags um deine formel!)

05.02.2005, 23:54

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Und die inhomogene Lösung ist von den Koeffizienten her falsch, z.B. muss hinten 1/10 statt 1/5 stehen.

05.02.2005, 23:58

Seimon

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1/10 bekomm ich auch raus, aber die beiden anderen Faktoren der inhomogenen Lösung sind bei mir auch anders!

06.02.2005, 00:09

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Nochmal zur partikulären Lösung:

Der Ansatz
$\begin{eqnarray*} x_p(t)=a\cos(2t)+b\sin(2t)+c \end{eqnarray*}$
führt zu
$\begin{eqnarray*} x_p'(t)=-2a\sin(2t)+2b\cos(2t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_p''(t)=-4a\cos(2t)-4b\sin(2t) \end{eqnarray*}$
und damit
$\begin{eqnarray*} 2x_p''+3x_p'+10x_p=(2a+6b)\cos(2t)+(-6a+2b)\sin(2t)+10c \end{eqnarray*}$

Der Koeffizientenvergleich mit

$\begin{eqnarray*} 2x_p''+3x_p'+10x_p=\sin(2t)+1 \end{eqnarray*}$

liefert andere Werte, als von euch oben angegeben - Seimon hat also Recht.

Die homogene Lösung sieht bis auf die noch zu korrigierenden Vorfaktoren vor sin und cos aber richtig aus!

06.02.2005, 17:18

Helmut1973

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Inhomogene DGL
Hallo Arthur Dent, Hallo Seimon,

Zu erst einmal ein dickes fettes Dankeschön von uns. Ihr bringt uns der Lösung immer ein wenig näher und habt uns schon sehr geholfen. Klausur ist Donnerstag :-)

Zwei Fragen sind noch offen, die Gaby und ich noch nicht klären konnten:

Warum sollen wir die Anfangsbedingungen in die inhomogene Lösung einarbeiten?
Meinst Du mit Vorfaktoren die Koeffizienten vor sin und cos?

Vielen lieben dank für eure Mühe und das Korrigieren der Formel. Der Editor ist wirklich umständlich!

Mit freundlichen Grüßen

Helmut Fuchs

06.02.2005, 17:26

Seimon

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RE: Inhomogene DGL
Beim bestimmen der inhomogenen Lösung bekommt ihr die Konstanten a b und c von dem ansatz!

ihr habt aber auch bei der homogenen Lösung Konstanten drin!

kurzes bsp:
$\begin{eqnarray*} y'=y \end{eqnarray*}$ hat als lösung $\begin{eqnarray*} y=C*e^x \end{eqnarray*}$ !

und diese Konstanten (es sind 2 bei einer DGL 2. Ordnung) bestimmt ihr indem ihr in die komplette Lösung (homogen + inhomogen) die Anfangsbedingungen einsetzt!

06.02.2005, 17:31

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Ohne Anfangsbedingungen kann die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl durch

$\begin{eqnarray*} x(t)=x_h(t)+x_p(t) \end{eqnarray*}$

dargestellt werden, wobei $\begin{eqnarray*} x_h(t) \end{eqnarray*}$ die allgemeine Lösung der homogenene Gleichung und $\begin{eqnarray*} x_p(t) \end{eqnarray*}$ eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist.

Was soll es denn bringen, $\begin{eqnarray*} x_h(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_h'(0)=1 \end{eqnarray*}$ zu setzen, wenn man doch eigentlich an $\begin{eqnarray*} x(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x'(0)=1 \end{eqnarray*}$ interessiert ist? Daher hat Seimon völlig recht!

Zitat:

Original von Helmut1973
Der Editor ist wirklich umständlich!

[ironie]
Der Word-Formeleditor ist natürlich viel besser!
[/ironie]

EDIT: Wieder mal zu langsam...
Ergänzend zu Seimons letzten Anmerkungen möchte ich noch betonen, dass die Koeffizienten a,b,c aus dem partikulären Ansatz nicht von den Anfangsbedingungen der Gesamt-Dgl abhängen, sondern per Koeffizientenvergleich aus der Dgl (ohne Anfangsbedingungen) ermittelt werden!

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