Grenzwert

09.07.2007, 21:54

Monstar

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Grenzwert

hallo, bin gerade dabei alte prüfungsaufgaben zu rechnen, dabei bin ich auf folgenden grenzwert gestoßen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{sin^2(x)}~ln(1+cos(t))~dt \end{eqnarray*}$

kann mir jemand nen tipp geben? der lösung trau ich irgendwie nicht..

09.07.2007, 22:20

pseudo-nym

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l'Hospital(?)

09.07.2007, 22:30

sqrt(2)

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Den Integranden nach oben mit $\begin{eqnarray*} \ln 2 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

09.07.2007, 22:32

Monstar

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dachte ich mir auch schon..

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{sin^2(x)}~ln(1+cos(t))~dt = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(1+cos(sin^2(x)))}{2x} = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(2)}{2x} = \infty \end{eqnarray*}$ ?

09.07.2007, 22:37

Monstar

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Den Integranden nach oben mit $\begin{eqnarray*} \ln 2 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

und warum darf ich das? die lösung benutzt den mittelwertsatz und sagt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x^2} sin^2(x)*ln(1+cos(\beta_x)) = ln 2 \end{eqnarray*}$ aber beta_x könnte doch alles mögliche sein?!

09.07.2007, 22:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von Monstar
dachte ich mir auch schon..

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{sin^2(x)}~ln(1+cos(t))~dt = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(1+cos(sin^2(x)))}{2x} = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(2)}{2x} = \infty \end{eqnarray*}$ ?

Völliger Unfug.

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09.07.2007, 22:44

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Monstar
dachte ich mir auch schon..

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{sin^2(x)}~ln(1+cos(t))~dt = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(1+cos(sin^2(x)))}{2x} = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(2)}{2x} = \infty \end{eqnarray*}$ ?

Nein, Unsinn. Du kannst doch nicht den Zähler nach t und den Nenner nach x ableiten.

Zitat:

Original von Monstar
und warum darf ich das?

Überlegs dir mal grafisch. Formal habt ihr $\begin{eqnarray*} 0\leq\int f \leq \int \|f\|_\infty \end{eqnarray*}$ für nichtnegatives f sicher in der Vorlesung bewiesen.

Zitat:

Original von Monstar
hab die lösung benutzt den mittelwertsatz und sagt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x^2} sin^2(x)*ln(1+cos(\beta_x)) = ln 2 \end{eqnarray*}$ aber beta_x könnte doch alles mögliche sein?!

Das ist ja der Witz. Es ist nur wichtig, dass es eins gibt.

09.07.2007, 23:06

Monstar

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ok sorry was verwechselt

und warum kann dieses beta_x nicht z.b. pi sein? verstehs grad nich..

09.07.2007, 23:31

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \beta_x \end{eqnarray*}$ liegt gemäß Mittelwertsatz zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \sin^2 x \end{eqnarray*}$ . x geht gegen 0.

10.07.2007, 09:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von Monstar
dachte ich mir auch schon..

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{sin^2(x)}~ln(1+cos(t))~dt = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(1+cos(sin^2(x)))}{2x} = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(2)}{2x} = \infty \end{eqnarray*}$ ?

Nein, Unsinn. Du kannst doch nicht den Zähler nach t und den Nenner nach x ableiten.

Wo wurde denn da der Zähler nach t abgeleitet?

Aber egal. ich versuche, das ganze mal auf ein gerades Gleis zu bringen:

Sei F(t) eine Stammfunktion von f(t)=ln(1+cos(t)). Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{sin^2(x)}~ln(1+cos(t))~dt = \lim_{x \to 0+} \frac{F(sin^2(x)) - F(0)}{x^2} \end{eqnarray*}$ jetzt l'Hospital

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to 0+} \frac{F'(sin^2(x)) \cdot 2sin(x)cos(x)}{2x} = \lim_{x \to 0+} \frac{ln(1+cos(sin^2(x))) \cdot sin(x)cos(x)}{x} \end{eqnarray*}$

Da der $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ bekannt ist, ist der Rest klar.

10.07.2007, 12:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Den Integranden nach oben mit $\begin{eqnarray*} \ln 2 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

Das ist das einfachste.

10.07.2007, 12:27

klarsoweit

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Hmm. Und was bringt mir das? verwirrt

verwirrt

10.07.2007, 13:06

WebFritzi

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Jarnüscht. Haste recht. Was ist hieran falsch? Irgendwie finde ich den Fehler nicht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+}\frac{1}{x^2}\int_0^{\sin^2x}\ln(1 + \cos t)\,dt &=& \lim_{y\to 0+}\frac{1}{\arcsin\sqrt{y}}\int_0^y\ln(1+\cos t)\,dt\\ &=& \lim_{y\to 0+}\frac{\ln(1 + \cos y)}{\frac{1}{2\sqrt{y}\sqrt{1 - y}}}\\ &=& \lim_{y\to 0+}2\sqrt{y}\sqrt{1 - y}\ln(1 + \cos y) = 1\cdot 2\cdot 0\cdot\ln 2 = 0. \end{eqnarray*}$

10.07.2007, 13:12

WebFritzi

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Ich hab ihn gefunden. Das erste Gleichheitszeichen ist schon falsch. Manmanman...

10.07.2007, 14:26

sqrt(2)

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Zitat:

Original von klarsoweit
Hmm. Und was bringt mir das? verwirrt

verwirrt

Zusammen mit dem MWS ziemlich viel, s.o.

10.07.2007, 16:06

klarsoweit

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Ich sehe, daß du mit dem MWS den Grenzwert ln(2) rausbekommst. Ich sehe aber nicht, daß irgendwo der Integrand nach oben mit ln(2) abgeschätzt wurde.

10.07.2007, 18:20

sqrt(2)

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Ich gebe ja zu, dass das ungeschickt ausgedrückt war. Ich wollte auch ursprünglich nicht direkt auf den MWS hinaus, sondern hatte eine Art Intervallschachtelung im Sinn.

10.07.2007, 20:33

Monstar

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@ klarsoweit: so war es eigentlich gedacht, hatte nur nicht beachtet dass ich keine funktion von x sondern eine von sin^2(x) habe..

@sqrt(2): jetzt gibts für mich sinn, danke!

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