Teilbarkeit beweisen

09.07.2007, 22:15

jame$

Teilbarkeit beweisen

ich will die folgenden teilbarkeitsaussagen durch induktion beweisen, hänge aber irgendwie in beiden fällen an der gleichen stelle:

1. $\begin{eqnarray*} 7~|~8^n-1 \end{eqnarray*}$

induktionsanfang und -vorraussetzung spar ich mir mal.

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 7~|~8^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8^{n+1}-1=8^n \cdot 8-1 \end{eqnarray*}$

das ist ja trivial. da nach vorraussetzung $\begin{eqnarray*} 7~|~8^n-1 \end{eqnarray*}$ gilt, muss auch $\begin{eqnarray*} 7~|~8^n \cdot 8-1 \end{eqnarray*}$ gelten, da $\begin{eqnarray*} 8^n \cdot 8 \end{eqnarray*}$ nur ein weiteres vielfaches von 8 ist, was nach vorraussetzung zu einer wahren aussage führt. aber wie kann ich das jetzt induktiv begründen?

ähnlich hier:

2. $\begin{eqnarray*} 8~|~7^{2n-1}+9 \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 8~|~7^{2n+1}+9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7^{2n+1}+9=7^{2n-1}\cdot 49+9 \end{eqnarray*}$

aber das muss ich jetzt ja wieder irgendwie auf die behauptung zurückführen.

09.07.2007, 22:19

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} 8^{n+1}-1=8^n \cdot 8-1=8^n \cdot 8 -8+7 \end{eqnarray*}$

Jetzt klammer mal 8 aus...hilft das ?

Gruß Björn

09.07.2007, 22:33

jame$

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nö

09.07.2007, 22:37

Bjoern1982

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Ist jetzt zwar ne sehr knappe Antwort (hättest ja mal sagen können warum dir das nicht hilft bzw was dir unklar ist) aber dann schau es dir halt mal genau an:

$\begin{eqnarray*} 8^{n+1}-1=8^n \cdot 8-1=8^n \cdot 8 -8+7=8(8^n-1)+7 \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachte jeden Summanden einzeln und mache dir klar warum jeder Summand durch 7 teilbar sein muss.

Björn

09.07.2007, 22:50

jame$

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ah, na klar, so ist nach vorraussetzung 8*7n+7 ein vielfaches von 7 und damit durch 7 teilbar.

aber wie geht das bei 2?

09.07.2007, 22:52

Bjoern1982

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Genauso...ist zwar etwas komplizierter aber im Prinzip dieselbe Vorgehensweise.

Gruß Björn

09.07.2007, 23:01

jame$

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$\begin{eqnarray*} 7^{2n+1}+9=7^{2n-1}\cdot 7 \cdot+9=7^{2n-1}\cdot 7 \cdot+441-432=7^2(7^{2n-1}+9)-432 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7^{2n-1}+9 \end{eqnarray*}$ ist nach vorraussetzung durch 8 teilbar, damit ist $\begin{eqnarray*} 7^2(7^{2n-1}+9) \end{eqnarray*}$ ein vielfaches von 8 und da $\begin{eqnarray*} 8~|~432 \end{eqnarray*}$ gilt, gilt auch $\begin{eqnarray*} 8~|~7^2(7^{2n-1}+9)-432 \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

09.07.2007, 23:01

jame$

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ups, in der 1. zeile fehlt noch eine 7 als faktor.

09.07.2007, 23:04

therisen

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RE: Teilbarkeit beweisen

Zitat:

Original von jame$
1. $\begin{eqnarray*} 7~|~8^n-1 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 8~|~7^{2n-1}+9 \end{eqnarray*}$

Ich gebe nicht auf, die Zahlentheorie von irgendwelchen überflüssigen Induktionsbeweisen zu befreien Big Laugh

1. $\begin{eqnarray*} 8^n-1=7\sum_{k=0}^{n-1}8^k \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} 7^{2n-1}+9\equiv(-1)^{2n-1}+9=8\equiv0\pmod8 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

09.07.2007, 23:12

jame$

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das ist natürlich eleganter. Big Laugh

vor allem angesichts der tatsache, dass ich induktionsbeweise nicht ausstehen kann.

10.07.2007, 12:57

Lazarus

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1) geht auch mit $\begin{eqnarray*} 8^n-1 \, \equiv \, 1^n-1 =1-1=0 \pmod {7} \end{eqnarray*}$ falls man die geometrische Reihe tatsächlich nicht sieht.

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