Polarengleichung |
09.07.2007, 23:50 | Venus² | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Polarengleichung Ich habe eine Aufgabe gelöst, in der man die Schnittpunkte der Tangenten des Kreises k: mit diesem ermitteln musste. Die Tangenten sollten durch gehen. Ich habe das mit mehrmaliger Anwendung des Satzes des Pythagoras gelöst. Rausbekommen habe ich die Punkte und . Nun gut, das müsste stimmen. Daraufhin bin ich über die Boardsuche auf die Polarengleichung gestoßen. Damit erhält man die Lösung viel schneller. Mir ist auch aufgefallen, dass die Polare (in der Zeichnung g zur Gerade verlängert) und die lineare Funktion f, welche durch den Kreismittelpunkt M und P geht, orthogonal aufeinander stehen. Ich vermute jetzt einfach mal intuitiv, dass das kein Zufall ist. Allerdings kann ich mir das nicht so ganz erklären. Ich verstehe einfach nicht, wieso man gerade die Polare erhält, wenn man P in die Kreisgleichung einsetzt. Warum erhält man da nicht irgendeine andere Funktion? xD Ich hoffe, dass ihr mein Problem versteht Liebe Grüße und danke schonmal, Anne-So |
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10.07.2007, 09:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Polarengleichung
Das ganze ist symmetrisch zur Geraden durch die Punkte P und M. Das heißt, die Polare liegen spiegelbildlich zu dieser Geraden und daher ist die Verbindung der Polare (Gerade g) senkrecht zur Spiegelgeraden (Gerade f).
Also wenn ich P in die Kreisgleichung einsetze, dann steht da (0-5)² + 5² = 10. Ich kann daran nicht erkennen, wie man daraus die Polare erhalten will. Der typische Ansatz, den ich kenne, geht so: Die Tangente hat die Form y = m*x + 5. Jetzt muß das m so bestimmt werden, daß die Tangente mit dem Kreis genau einen Schnittpunkt hat. Wir setzen das also mal in die Kreisgleichung ein: <==> <==> Diese quadratische Gleichung soll also genau eine x-Lösung haben. Dazu muß die Diskriminante = Null sein. Der Rest ist dann Fleißarbeit. |
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10.07.2007, 09:42 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Polarengleichung
dürfte sich ja um eins meiner bilderl handeln ja die polare steht senkrecht auf die verbindungsgerade PM, weshalb: sie ist die schnittgerade des kreises mit dem thaleskreis durch P und M. tangente und radius stehen ja senkrecht aufeinand. im prinzip hast du das problem ja so gelöst (pythagoras). und die beiden tangenten liegen symmetrisch bezüglich PM. die polare zu erhältst du (schematisch) durch aufspalten: |
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10.07.2007, 16:50 | Venus² | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
answer
Das leuchtet mir alles ein. Ich habs mal so gelöst und es hat funktioniert Damit habe ich ja sogar gleich die beiden Tangenten rausbekommen ohne erst die Schnittpunkte zu erhalten... eignet sich also gut, wenn die Tangenten gesucht sind. Die Diskriminante muss 0 sein, weil es ja nur einen Schnittpunkt der Tangenten mit dem Kreis geben soll. Man kommt auf 2 Tangenten, weil es sich bei der Gleichung in der Diskriminanten ebenfalls um eine quadratische handelt, wobei man dort nach der Steigung auflösen muss. In diesem Fall ist die Diskriminante also >0. Danke für diese gute Erklärung.
Wie jetzt eins deiner Bilderl? xD Hier ist eigentlich nochmal das aufgeschrieben, was meine Frage beinhaltet. Ich hatte das in meinem ersten Posting nicht richtig formuliert. sry dafür. Ich verstehe nämlich nicht, warum man die polare durch dieses schematische Aufspalten erhält. Kann mir das nochmal bitte jemand erklären? Ich suche nach einer Begründung wie ich das ansatzweise mit der Lösung von klarsoweit gemacht habe. Ich brauche irgendwie die Gründe der Vorgehensweise. Mir ist schon klar, dass man das Aufspalten macht um die Polare zu bekommen. Aber warum bekommt man durch dieses Aufspalten die Polare? Aber danke schonmal für eure Antworten, das hat mir schon weitergeholfen. |
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10.07.2007, 17:36 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: answer du hast recht, die zeichnung ist nicht von mir, da habe ich nicht genau hingeschaut. meine sind besser wenn man´s nicht versteht, sollte man genauer lesen: die polare ist die schnittmenge von K und dem thaleskreis über PM. wieso steht oben das hättest du nur nachvollziehen müssen. alles ausmultiplizieren und subtrahieren führt auf: jetzt kann man aus 3 und 4 noch m bzw. aus 5 und 6 n herausheben und zusammenfassen, womit man das ersehnte erhält: |
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31.01.2021, 19:13 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Kreis- und Polarengleichung Hallo Rive, ich habe Ihren Beitrag mit Interesse gelesen, da ich gerade ein ähnliches/dasselbe Problem habe. Ich habe versucht, Ihre Kreis- und Tangentengleichung so umzustellen (Gleichsetzung), dass ich die beiden Berührungspunkte der Polaren bekomme. Leider ist es mir nicht gelungen. Mache vermutlich einen Fehler. Im Anschluss habe dann selbst versucht, die beiden Gleichungen zu "verheiraten" und mit der quadratischen Lösung die Berührungspunkte zu bekommen. Siehe dazu die Anlage. Dabei hat sich vermutlich ein Fehler eingeschlichen, da die Probe die richtigen Werte (x1=-2,y1=1 und x2=4,62, y2=5,73) nicht bestätigte. Für Ihre Hilfe wäre ich sehr dankbar! Was mich auch noch interessieren würde ist, wie Sie die Kreisgleichung umgestellt haben (.. ausmultiplizieren und subtrahieren ..), sodass Ihre Gleichung keinPotenzen bei X und Y hat. Kann man mit dieser Gleichung auch beide Polaren-Berührungspunkte berechnen? Gruß Tscheppo |
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01.02.2021, 12:14 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Kreis- und Polarengleichung da war ich ja noch ein junges Bürschchen so weit ich heute noch helfen kann: Einsetzen der Polarengleichung ergibt bei mir für die x-Koordinaten der Berührpunkte: mit und was sogar auf das richtige Ergebnis führt |
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01.02.2021, 15:01 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Vielen Dank und meinen Fehler gefunden Vielen Dank für die super Lösung. Habe alles nachgestellt. Diese Lösung ist viel einfacher als meine, aber sie funktioniert inzwischen auch. Ich habe einen Vorzeichendreher gehabt (siehe Anlage 1). Ich hoffe, ich wirke nicht anzu unverschämt. Ich habe ein weiteres Problem, an dem ich schon einige Zeit herumrätsel. Ich finde einfach keinen Lösungsansatz. Mein aktueller Ansatz ist: Wenn ich den kleinen Kreis im unteren, großen Kreis einzeichne, entsteht zwischen M1, A1, A2 und M2 ein Dreieck mit der Kathete r1-r2 und ein Rechteck mit der schmaleren Seite r2. Für einen Lösungsansatz wäre ich dankbar! |
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01.02.2021, 15:15 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Entschuldigung: Falsche Problembild Entschuldigung: Hab in vorherigen Nachricht das falsche Bild für das Problem hochgeladen! Hier das Richtige. |
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01.02.2021, 17:05 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Entschuldigung: Falsche Problembild wenn ich dich richtig verstehe: gegeben: 2 (sich nicht schneidende) Kreise mit r1 und r2 gesucht: die Koordinaten der Berührpunkte der gemeinsamen Tangenten? |
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01.02.2021, 17:57 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Exakt Exakt. Ich möchte einen Tropfen in meinem GIMP-Plugin zeichnen. Gegeben die Kreismittelpunkte und die beiden Radien. |
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01.02.2021, 18:38 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Exakt berechne die Koordinaten des zugehörigen Pols und gehe zur Aufgabe davor mit erhält man für die Koordinaten des Pols ok |
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02.02.2021, 17:13 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Vielen Dank und Herleitung Hallo Werner, da ich schon etliche Male Hilfe im MatheBord erhalten habe, wechselte ich heute zum registrierten Benutzer, um etwas auch zurückzugeben. Vielen Dank für die teilweise Lösung bei der Polsuche. Mittels Assoziation habe ich den zweiten Teil von P (siehe Anlage) zwar gefunden, aber mich würde auch die Herleitung interessieren. Den Ansatz, zunächst den zugehörigen Pol zu ermitteln habe ich schon früher verfolgt. Mit der Zweipunkte-Form der Gerade K1/K2/P sowie der Punkt-Steigungsform bin ich dann leider gescheitert. |
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02.02.2021, 17:46 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Berührungspunkte der Tangenten an Kreis Im Zuge meiner Programmiertätigkeit, ich erstelle ein GIMP-Plugin in Python zur Erstellung verschiedener Formen, traf ich auf das Problem Ecken und Spitzen mit gefordertem Radius zu runden (siehe Bild 1: Spitzen einer Raute runden). Dafür mussten die Berührungspunkte der beiden zur Spitze zulaufenden Linien gefunden werden und das, obwohl die Koordinaten des Kreismittelpunktes nicht gegeben sind (siehe Bild 2: Rundung Spitze - Aufgabe). Den Kreismittelpunkt habe ich dann mittels trigonometrischer Funktionen ermitteln können. Wenn gewünscht, präsentiere ich die Lösung in Form einer Bilderreihe. Die Berührungspunkte der Linien (Tangenten) an den Kreis waren dann eine weitere Herausforderung. Für diese Lösung wurde mir im MatheBoard viel Hilfe geboten, daher möchte ich die vollstandige Lösung
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02.02.2021, 19:59 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Vielen Dank und Herleitung
naja, zuerst kommt man im Kopf mit dem Strahlensatz zu mit s=|M_2P| und d =|M_1M_2| und nun geht´s viel einfacher mit Vektorrechnung womit man die Koordinaten des Pols einfach ablesen kann: man kann die Berührpunkte auch ganz ohne Polare etc. mit Hilfe von trigonometrischen Überlegungen ermitteln. mit usw. |
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02.02.2021, 20:42 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Genial Das ist wirklich genial. Da erkennt man doch den Unterschied zwischen dem Informatiker und dem Mathematiker. Kann man mit diesem Ansatz auch das Problem der Mittelspunktsberechnung entsprechend der Anlage lösen? |
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02.02.2021, 22:49 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Genial danke für die Blümchen zu deinem Problem: ja das geht bestimme k und d der Geraden y = kx +d durch P(p/q) und X1. M(m/n): und analog n das Vorzeichen der Wurzel ist (vermutlich) geeignet zu wählen, sollte ja für einen Informatiker kein Problem sein edit: r eingefügt |
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02.02.2021, 22:52 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Siehe auch dort. Hinweis (falls du dort auch Herbie warst): Das Auftreten unter verschiedenen Namen* im Board ist unhöflich und entspricht nicht der Netiquette. (*)(zumindest zeitnah und im gleichen Unterforum) |
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03.02.2021, 13:31 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
In der Tat - ich war dort Herbie Aus meiner Sicht muss ich mich zwar nicht rechtfertigen, ich tue es aber trotzdem, weil ich die Einrichtung "MatheBoard" oder ähnliche Foren echt Klasse finde:
Übrigens befinde ich mich in Foren zum Thema "Informatik". Dort beantworte ich ebenfalls Fragen und programmiere freiwillig Plugins für GIMP. Ich helfe also ebenfalls! Also, auch von mir eine Kritik. Hilfe sollte meiner Meinung nach wie folgt aussehen:
Übrigens nochmals, so wie es "Riwe (werner)" gemacht hat! |
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03.02.2021, 14:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Klingt nach "Haltet den Dieb", wenn jemand der unter wechselnden Namen im Board auftritt andere dafür kritisiert, dass sie nicht mit Klarnamen hier posten. |
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03.02.2021, 14:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Ich bin sowieso hier raus. Nur so viel: Du hast kurze und klare Hinweise - ohne fertige Lösung und entgegen, wie du es in deiner Kritik angemahnt hast - erhalten:
Daraus hättest du sicher auch etwas machen können.
Danach hast du noch weitere zielführende Hinweise erhalten. Zuletzt kam aber in diesem Thread kein Feedback mehr von dir. Soviel zur Netiquette. Statt dessen stellst du dieselbe Frage wieder in einem neuen Thread. Schon klar, jetzt mit den eventuell geänderten Aspekten, die die alternativen genialen Ausführungen von werner aufgezeigt haben. Es kann durchaus der Fall sein, dass manche Probleme, in denen man festgefahren erscheint, von einem anderen Blickwinkel gesehen, einen deutlicheren Lösungsweg aufzeigen, und das ist positiv. Mit deiner Kritik jedoch andere Helfer zu kompromittieren, ist unfair. Mit dieser rennst du m. E. ohnehin offene Türen ein. Falls das mich betreffen sollte, bin ich, wie schon gesagt, hier ohnehin raus. Bemerkung: Hinsichtlich Doppelnamen habe ich ja geschrieben: Zeitnah und im gleichen Forum sollte man sie vermeiden. Das ist die Netiquette. mY+ |
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03.02.2021, 17:12 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Genial
wenn du damit meinst, ob man auch dieses Problem mit trigonometrischen Mitteln lösen kann: ja kann man |
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03.02.2021, 20:27 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Gleichung liefert falsche Ergebnis Hallo Werner, ich habe deinen Gleichung ergänzt (siehe Bild) und einen konkreten Fall berechnet. Leider bekomme ich falsche Ergebnisse. Was habe ich falsche gemacht? |
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03.02.2021, 21:21 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Gleichung liefert falsche Ergebnis und wo sind deine Ergebnisse? stell doch einmal konkrete Zahlen hier herein! edit: warum berechnest du etwas, was ohnehin gegeben ist, z.B. M ??? |
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04.02.2021, 00:12 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Suche K Entschuldigung, das ich meine Kontrollberechnung nicht mitgeliefert habe. Hole dies heute im Laufe des Vormittags nach. Ich suche jedoch nicht M sondern K. |
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04.02.2021, 11:26 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Suche K
naja, vielleicht sollten auch Informatiker nicht dauernd andere Bezeichner wählen aber im Ernst: wie man - von der Dimension her - sofort sehen kann und sollte, habe ich oben das "r" vergessen, bitte korrigiere das bei deiner Betrachtung. ich erhalte damit die richtigen Werte, soweit man das bei deinem Gekritzel sagen kann. |
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04.02.2021, 13:19 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Gleichungen bringen das erwartete Ergebnis Hallo Werner, die Richtigkeit deiner Gleichungen habe ich, wie gewünscht, inzwischen rechnerisch bewiesen (oder wie sagt man das in Mathe-Kreisen). Die Ergebnisse sind bei zwei durchgerechneten Fälle richt. Nochmals Danke. |
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04.02.2021, 15:40 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Gleichungen bringen das erwartete Ergebnis ich habe eigentlich gar nix gewünscht ich würde das ganze etwas anders anpacken: geeignet Verschieben und Drehen, sodass P in O(0/0) und X3 (bei dir nun M) auf der positiven x-achse liegen. Damit wird die ganze Berechnung (fast) trivial, anschließend alles retour. Kannst es dir ja einmal anschauen |
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04.02.2021, 17:38 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Lösung mittels Drehung Die Ermittlung der Berührpunkte mittels Drehung, Berechnung und Rückdrehung habe ich schon länger in meinem Plugin realisiert (siehe Anhänge). Ich wollte es jedoch mal mittels direkter Berechnung versuchen und die Ausführungszeiten der beiden Lösungen miteinander vergleichen. Methode, in Python geschrieben:
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05.02.2021, 13:29 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Berechnung des Kreismittelpunktes K Hallo Werner, ich habe in der Zwischenzeit die Formeln in meinen Formberechnungen eingebaut und festgestellt, dass bei der Berechnung des Kreismittelpunktes K der Term d + k * p - q bei der Berechnung von l entweder 0 oder eine sehr kleiner Wert 0,00000001 herauskommt. Kann das sein? Die Endergebnisse stimmen aber immer! Gruß |
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05.02.2021, 20:39 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Berechnung des Kreismittelpunktes K Gut, dass du das Zeug kontrolliert hast!!! klar, dieser Ausdruck MUSS = 0 sein, P liegt ja auf der Geraden das kann man also wegstreichen! (habe ich nicht geschaut, dazu habe ich ja dich ) zu deiner Pn melde ich mich später, bin momentan im Streß, muß oder will ein Bild fertig malen. |
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07.02.2021, 22:06 | Tscheppo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Kreis- und Polarengleichung
Hallo Werner, es war echt schwierig, den richtigen y-Wert je nach Lage der Geraden zu programmieren. Es sind mehrere Abfragen unter Zuhilfenahme der Quadranten und dem Radius nötig. Ich ermittle den y-Wert mittels Pythagoras. Gibt es vielleich eine bessere Möglichkeit den y-Wert zu berechnen, sodass die Zuordnung automatisch geschieht? Momentan versuche ich die Sonderfälle abzuhanden, wenn der Kreismittelpunkt und der Pol eine Waggrechte oder Senkrechte bildet. Da ich die Ableitung noch nicht verstanden habe, tue ich mich echt schwer. Wo muss ich bitte drehen? |
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07.02.2021, 22:27 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Kreis- und Polarengleichung darum würde ich ja "schieben und drehen", da genügt eine einzige Abfrage, die steht in meiner Excel-Datei in Zelle F19 bzw. F21 |
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