Polarengleichung

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Venus² Auf diesen Beitrag antworten »
Polarengleichung
Hallo!

Ich habe eine Aufgabe gelöst, in der man die Schnittpunkte der Tangenten des Kreises k: mit diesem ermitteln musste. Die Tangenten sollten durch gehen. Ich habe das mit mehrmaliger Anwendung des Satzes des Pythagoras gelöst. Rausbekommen habe ich die Punkte und . Nun gut, das müsste stimmen.
Daraufhin bin ich über die Boardsuche auf die Polarengleichung gestoßen. Damit erhält man die Lösung viel schneller. Mir ist auch aufgefallen, dass die Polare (in der Zeichnung g zur Gerade verlängert) und die lineare Funktion f, welche durch den Kreismittelpunkt M und P geht, orthogonal aufeinander stehen. Ich vermute jetzt einfach mal intuitiv, dass das kein Zufall ist.
Allerdings kann ich mir das nicht so ganz erklären.

Ich verstehe einfach nicht, wieso man gerade die Polare erhält, wenn man P in die Kreisgleichung einsetzt. Warum erhält man da nicht irgendeine andere Funktion? xD

Ich hoffe, dass ihr mein Problem versteht Augenzwinkern

Liebe Grüße und danke schonmal,
Anne-So
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polarengleichung
Zitat:
Original von Anne-So 5
Mir ist auch aufgefallen, dass die Polare (in der Zeichnung g zur Gerade verlängert) und die lineare Funktion f, welche durch den Kreismittelpunkt M und P geht, orthogonal aufeinander stehen. Ich vermute jetzt einfach mal intuitiv, dass das kein Zufall ist.
Allerdings kann ich mir das nicht so ganz erklären.

Das ganze ist symmetrisch zur Geraden durch die Punkte P und M. Das heißt, die Polare liegen spiegelbildlich zu dieser Geraden und daher ist die Verbindung der Polare (Gerade g) senkrecht zur Spiegelgeraden (Gerade f).

Zitat:
Original von Anne-So 5
Ich verstehe einfach nicht, wieso man gerade die Polare erhält, wenn man P in die Kreisgleichung einsetzt. Warum erhält man da nicht irgendeine andere Funktion? xD

Also wenn ich P in die Kreisgleichung einsetze, dann steht da (0-5)² + 5² = 10. Ich kann daran nicht erkennen, wie man daraus die Polare erhalten will. verwirrt

Der typische Ansatz, den ich kenne, geht so:
Die Tangente hat die Form y = m*x + 5. Jetzt muß das m so bestimmt werden, daß die Tangente mit dem Kreis genau einen Schnittpunkt hat. Wir setzen das also mal in die Kreisgleichung ein:

<==>

<==>


Diese quadratische Gleichung soll also genau eine x-Lösung haben. Dazu muß die Diskriminante = Null sein. Der Rest ist dann Fleißarbeit. Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polarengleichung
Zitat:
Original von Anne-So 5
Hallo!

Ich habe eine Aufgabe gelöst, in der man die Schnittpunkte der Tangenten des Kreises k: mit diesem ermitteln musste. Die Tangenten sollten durch gehen. Ich habe das mit mehrmaliger Anwendung des Satzes des Pythagoras gelöst. Rausbekommen habe ich die Punkte und . Nun gut, das müsste stimmen.
Daraufhin bin ich über die Boardsuche auf die Polarengleichung gestoßen. Damit erhält man die Lösung viel schneller. Mir ist auch aufgefallen, dass die Polare (in der Zeichnung g zur Gerade verlängert) und die lineare Funktion f, welche durch den Kreismittelpunkt M und P geht, orthogonal aufeinander stehen. Ich vermute jetzt einfach mal intuitiv, dass das kein Zufall ist.
Allerdings kann ich mir das nicht so ganz erklären.

Ich verstehe einfach nicht, wieso man gerade die Polare erhält, wenn man P in die Kreisgleichung einsetzt. Warum erhält man da nicht irgendeine andere Funktion? xD

Ich hoffe, dass ihr mein Problem versteht Augenzwinkern

Liebe Grüße und danke schonmal,
Anne-So


dürfte sich ja um eins meiner bilderl handeln verwirrt
ja die polare steht senkrecht auf die verbindungsgerade PM,
weshalb:
sie ist die schnittgerade des kreises mit dem thaleskreis durch P und M.
tangente und radius stehen ja senkrecht aufeinand.
im prinzip hast du das problem ja so gelöst (pythagoras).
und die beiden tangenten liegen symmetrisch bezüglich PM.

die polare zu erhältst du (schematisch) durch aufspalten:

Venus² Auf diesen Beitrag antworten »
answer
Zitat:
Original von klarsoweit
Der typische Ansatz, den ich kenne, geht so:
Die Tangente hat die Form y = m*x + 5. Jetzt muß das m so bestimmt werden, daß die Tangente mit dem Kreis genau einen Schnittpunkt hat. Wir setzen das also mal in die Kreisgleichung ein:

<==>

<==>


Diese quadratische Gleichung soll also genau eine x-Lösung haben. Dazu muß die Diskriminante = Null sein. Der Rest ist dann Fleißarbeit. Augenzwinkern


Das leuchtet mir alles ein. Ich habs mal so gelöst und es hat funktioniert smile
Damit habe ich ja sogar gleich die beiden Tangenten rausbekommen ohne erst die Schnittpunkte zu erhalten... eignet sich also gut, wenn die Tangenten gesucht sind.
Die Diskriminante muss 0 sein, weil es ja nur einen Schnittpunkt der Tangenten mit dem Kreis geben soll. Man kommt auf 2 Tangenten, weil es sich bei der Gleichung in der Diskriminanten ebenfalls um eine quadratische handelt, wobei man dort nach der Steigung auflösen muss. In diesem Fall ist die Diskriminante also >0.
Danke für diese gute Erklärung. Freude


Zitat:
Original von riwe
dürfte sich ja um eins meiner bilderl handeln verwirrt
ja die polare steht senkrecht auf die verbindungsgerade PM,
weshalb:
sie ist die schnittgerade des kreises mit dem thaleskreis durch P und M.
tangente und radius stehen ja senkrecht aufeinand.
im prinzip hast du das problem ja so gelöst (pythagoras).
und die beiden tangenten liegen symmetrisch bezüglich PM.

die polare zu erhältst du (schematisch) durch aufspalten:



Wie jetzt eins deiner Bilderl? xD verwirrt Big Laugh

Hier ist eigentlich nochmal das aufgeschrieben, was meine Frage beinhaltet. Ich hatte das in meinem ersten Posting nicht richtig formuliert. sry dafür.
Ich verstehe nämlich nicht, warum man die polare durch dieses schematische Aufspalten erhält. Kann mir das nochmal bitte jemand erklären? Ich suche nach einer Begründung wie ich das ansatzweise mit der Lösung von klarsoweit gemacht habe. Ich brauche irgendwie die Gründe der Vorgehensweise. Mir ist schon klar, dass man das Aufspalten macht um die Polare zu bekommen. Aber warum bekommt man durch dieses Aufspalten die Polare?

LOL Hammer

Aber danke schonmal für eure Antworten, das hat mir schon weitergeholfen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: answer
du hast recht, die zeichnung ist nicht von mir, da habe ich nicht genau hingeschaut.
meine sind besser unglücklich

wenn man´s nicht versteht, sollte man genauer lesen:
die polare ist die schnittmenge von K und dem thaleskreis über PM.
wieso steht oben Big Laugh
das hättest du nur nachvollziehen müssen.





alles ausmultiplizieren und subtrahieren führt auf:



jetzt kann man aus 3 und 4 noch m bzw. aus 5 und 6 n herausheben und zusammenfassen, womit man das ersehnte erhält:

Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis- und Polarengleichung
Hallo Rive,

ich habe Ihren Beitrag mit Interesse gelesen, da ich gerade ein ähnliches/dasselbe Problem habe.

Ich habe versucht, Ihre Kreis- und Tangentengleichung so umzustellen (Gleichsetzung), dass ich die beiden Berührungspunkte der Polaren bekomme. Leider ist es mir nicht gelungen. Mache vermutlich einen Fehler.

Im Anschluss habe dann selbst versucht, die beiden Gleichungen zu "verheiraten" und mit der quadratischen Lösung die Berührungspunkte zu bekommen. Siehe dazu die Anlage. Dabei hat sich vermutlich ein Fehler eingeschlichen, da die Probe die richtigen Werte (x1=-2,y1=1 und x2=4,62, y2=5,73) nicht bestätigte. Für Ihre Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Was mich auch noch interessieren würde ist, wie Sie die Kreisgleichung umgestellt haben (.. ausmultiplizieren und subtrahieren ..), sodass Ihre Gleichung keinPotenzen bei X und Y hat. Kann man mit dieser Gleichung auch beide Polaren-Berührungspunkte berechnen?
Gruß Tscheppo
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis- und Polarengleichung
da war ich ja noch ein junges Bürschchen Augenzwinkern

so weit ich heute noch helfen kann: Einsetzen der Polarengleichung ergibt bei mir
für die x-Koordinaten der Berührpunkte:



mit und

was sogar auf das richtige Ergebnis führt
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank und meinen Fehler gefunden
Vielen Dank für die super Lösung. Habe alles nachgestellt. Diese Lösung ist viel einfacher als meine, aber sie funktioniert inzwischen auch. Ich habe einen Vorzeichendreher gehabt (siehe Anlage 1).

Ich hoffe, ich wirke nicht anzu unverschämt. Ich habe ein weiteres Problem, an dem ich schon einige Zeit herumrätsel. Ich finde einfach keinen Lösungsansatz.
Mein aktueller Ansatz ist:
Wenn ich den kleinen Kreis im unteren, großen Kreis einzeichne, entsteht zwischen M1, A1, A2 und M2 ein Dreieck mit der Kathete r1-r2 und ein Rechteck mit der schmaleren Seite r2.
Für einen Lösungsansatz wäre ich dankbar!
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung: Falsche Problembild
Entschuldigung: Hab in vorherigen Nachricht das falsche Bild für das Problem hochgeladen!

Hier das Richtige.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Entschuldigung: Falsche Problembild
wenn ich dich richtig verstehe:
gegeben: 2 (sich nicht schneidende) Kreise mit r1 und r2

gesucht: die Koordinaten der Berührpunkte der gemeinsamen Tangenten?
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt
Exakt. Ich möchte einen Tropfen in meinem GIMP-Plugin zeichnen. Gegeben die Kreismittelpunkte und die beiden Radien.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exakt
berechne die Koordinaten des zugehörigen Pols und gehe zur Aufgabe davor Augenzwinkern

mit

erhält man für die Koordinaten des Pols



ok Augenzwinkern
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank und Herleitung
Hallo Werner,
da ich schon etliche Male Hilfe im MatheBord erhalten habe, wechselte ich heute zum registrierten Benutzer, um etwas auch zurückzugeben.

Vielen Dank für die teilweise Lösung bei der Polsuche. Mittels Assoziation habe ich den zweiten Teil von P (siehe Anlage) zwar gefunden, aber mich würde auch die Herleitung interessieren.

Den Ansatz, zunächst den zugehörigen Pol zu ermitteln habe ich schon früher verfolgt. Mit der Zweipunkte-Form der Gerade K1/K2/P sowie der Punkt-Steigungsform bin ich dann leider gescheitert.
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Berührungspunkte der Tangenten an Kreis
Im Zuge meiner Programmiertätigkeit, ich erstelle ein GIMP-Plugin in Python zur Erstellung verschiedener Formen, traf ich auf das Problem Ecken und Spitzen mit gefordertem Radius zu runden (siehe Bild 1: Spitzen einer Raute runden).
Dafür mussten die Berührungspunkte der beiden zur Spitze zulaufenden Linien gefunden werden und das, obwohl die Koordinaten des Kreismittelpunktes nicht gegeben sind (siehe Bild 2: Rundung Spitze - Aufgabe).
Den Kreismittelpunkt habe ich dann mittels trigonometrischer Funktionen ermitteln können. Wenn gewünscht, präsentiere ich die Lösung in Form einer Bilderreihe.
Die Berührungspunkte der Linien (Tangenten) an den Kreis waren dann eine weitere Herausforderung. Für diese Lösung wurde mir im MatheBoard viel Hilfe geboten, daher möchte ich die vollstandige Lösung
    Berührungspunkte Tangenten (Polare) an Kreis gesucht, bei gegebenem Pol, Kreismittelpunkt und Radius
mit Beispielsrechnung für andere Ratsuchende präsentieren.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vielen Dank und Herleitung
Zitat:
Original von Tscheppo
Hallo Werner,
da ich schon etliche Male Hilfe im MatheBord erhalten habe, wechselte ich heute zum registrierten Benutzer, um etwas auch zurückzugeben.

Vielen Dank für die teilweise Lösung bei der Polsuche. Mittels Assoziation habe ich den zweiten Teil von P (siehe Anlage) zwar gefunden, aber mich würde auch die Herleitung interessieren.

Den Ansatz, zunächst den zugehörigen Pol zu ermitteln habe ich schon früher verfolgt. Mit der Zweipunkte-Form der Gerade K1/K2/P sowie der Punkt-Steigungsform bin ich dann leider gescheitert.


naja, zuerst kommt man im Kopf mit dem Strahlensatz zu

mit s=|M_2P| und d =|M_1M_2|



und nun geht´s viel einfacher mit Vektorrechnung



womit man die Koordinaten des Pols einfach ablesen kann:



man kann die Berührpunkte auch ganz ohne Polare etc. mit Hilfe von trigonometrischen Überlegungen ermitteln.

mit

usw.
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Genial
Das ist wirklich genial. Da erkennt man doch den Unterschied zwischen dem Informatiker und dem Mathematiker.

Kann man mit diesem Ansatz auch das Problem der Mittelspunktsberechnung entsprechend der Anlage lösen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Genial
danke für die Blümchen smile
zu deinem Problem: ja das geht

bestimme k und d der Geraden y = kx +d durch P(p/q) und X1.



M(m/n): und analog n

das Vorzeichen der Wurzel ist (vermutlich) geeignet zu wählen, sollte ja für einen Informatiker kein Problem sein Augenzwinkern

edit: r eingefügt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe auch dort.

Hinweis (falls du dort auch Herbie warst):
Das Auftreten unter verschiedenen Namen* im Board ist unhöflich und entspricht nicht der Netiquette.
(*)(zumindest zeitnah und im gleichen Unterforum)
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat - ich war dort Herbie
Aus meiner Sicht muss ich mich zwar nicht rechtfertigen, ich tue es aber trotzdem, weil ich die Einrichtung "MatheBoard" oder ähnliche Foren echt Klasse finde:
  • Alle Benutzer treten doch mit Synonymen und nicht mit Ihrem wirklichen Namen auf. Ich finde das schon lange falsch! Ich laufe doch im "normalen" Leben auch nicht vermummt durch die Gegend.
  • Zuerst einmal habe ich lange versucht, selbst eine Lösung für die Probleme zu finden. Mein Daddy hat immer gesagt: "Hilf dir selbst, so hilft dir Gott". Will sagen, ich versuche wirklich zuerst meine Probleme selbst zu lösen. Weil es mir auch einfach Spaß macht.
  • Als mir das nicht gelag, recherchierte ich im Internet nach Lösungen. Ich fand auch einige, aber alle waren so geartet, das die wichtigsten Daten entsprechend der Grundformeln gegeben waren, sodass man in vielen Fällen die Lösung nachvollziehen konnte.
  • Unter anderem fand ich "MatheBoard". Da ich das Forum noch nicht kannte, trat ich als Gast "Herbie" auf und stellte die Frage nach "Tangenten an Kreis durch Punkt ausserhalb, aber kein M".
    Ich bin mir ziemlich sicher, dass alle Helfer es gut gemeint haben, aber entweder wurden Gleichungsformen und kurze Erklärungen (die finde ich auch in meinem Mathebuch) oder es wurden Rechenbeispiele oder es wurden Veltorgleichungen (obwohl ich erwähnt hatte, die Vektorrechnung nicht zu beherrschen) geliefert.
  • Ich war also frustriert und es fiel mir der folgende Witz ein:
    Ein Normalsterblicher, ein Ingenieur und ein Mathematiker trafen sich, um das Problem 2 * 3 zu lösen. Der Normalsterbliche nahm seine Finger und präsentierte das Ergebnis 6. Der Ingenieur (ich) nahm seinen Rechenschieber (Rechner gab es noch nicht), schob hin und her und präsentierte das Ergebnis 5,9999999. Der Mathematiker dachte gut 2 Stunden über das Problem nach. Endlich ging ein Leuchten über sein Gesicht und er sagte "Es gibt eine Lösung!".
  • Ich war letztendlich frustiert und wollte schon aufgeben. Dann fand ich den Beitrag "Polarengleichung". Ich versuchte dort dann meine Fragen loszuwerden und bekam für mich verständliche Antworten. Hier möchte ich den Benutzer "riwe (werner)" besonders hervorheben. Riwe präsentierte mich auch nicht gleich fertige Lösungen, sondern Lösungsansätze. Ich versuchte dann das Präsentierte nachzuvollziehen. Wenn es mir aber nicht gelang, bekam ich wieder einen Hinweis, sodass ich letztendlich eine Lösung bekam. So sollte Hilfe sein!
  • Nach einigen Fragen als "Gast" meldete ich mich dann bei "MatheBoard" an. Hätte ich bei der Anmeldung nicht meinen zweiten Rufnamen, sondern weiterhin meinen Ersten gewählt (ich dachte mir nichts dabei), wäre ich genauso anonym wie jetzt!

Übrigens befinde ich mich in Foren zum Thema "Informatik". Dort beantworte ich ebenfalls Fragen und programmiere freiwillig Plugins für GIMP. Ich helfe also ebenfalls!
Also, auch von mir eine Kritik. Hilfe sollte meiner Meinung nach wie folgt aussehen:
  • Man präsentiert die Basisgleichungen und beschreibt kurz was der Fragende tun muss.
  • Man zeigt den anfänglichen Lösungansatz. Ein Vollblutmathematiker sucht keine Hilfe bei Euch.
  • Dann überlässt den Fragenden sich selbst, damit er in Ruhe die Lösung finden kann.
  • Gelingt ihm das nicht, fragt man nach dem aktuellen Stand und hilft weiter, bis zur endgültigen Lösung!

Übrigens nochmals, so wie es "Riwe (werner)" gemacht hat!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tscheppo
Alle Benutzer treten doch mit Synonymen und nicht mit Ihrem wirklichen Namen auf. Ich finde das schon lange falsch! Ich laufe doch im "normalen" Leben auch nicht vermummt durch die Gegend.

Klingt nach "Haltet den Dieb", wenn jemand der unter wechselnden Namen im Board auftritt andere dafür kritisiert, dass sie nicht mit Klarnamen hier posten. smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin sowieso hier raus.
Nur so viel:

Du hast kurze und klare Hinweise - ohne fertige Lösung und entgegen, wie du es in deiner Kritik angemahnt hast - erhalten:

Zitat:
Original von mYthos
Auf die letzte Grafik bezogen, ist die Angabe von P, P1, P2, P3 überbestimmt.
Denn P3 liegt ohnehin schon auf der (Innen-)Winkelhalbierenden von PP1 und PP2, diese ist PP_3.
-------
Der gesuchte Mittelpunkt liegt auf den Parallelen zu PP1 und PP2 im Abstand r und auch auf PP.
Die Berührungspunkte bestimmt man mit der Polaren.
...


Daraus hättest du sicher auch etwas machen können.

Zitat:
Original von mYthos
Ist dir klar, wie im ersten - beschriebenen - Schritt der Mittelpunkt des Kreises bestimmt wird?
Im 2. Schritt setzt man den Pol (P) in die Spaltformel der Kreisgleichung ein und bekommt damit die Polare.
Dies ist die Gerade, die die beiden Berührungspunkte verbindet.
Je nachdem, in welcher Form die Kreisgleichung vorliegt - Koordinatenform oder Vektorgleichung - gestaltet sich die Polarengleichung entsprechend.

Wie weit reichen deine Kenntnisse dorthin?
...


Danach hast du noch weitere zielführende Hinweise erhalten. Zuletzt kam aber in diesem Thread kein Feedback mehr von dir. Soviel zur Netiquette.
Statt dessen stellst du dieselbe Frage wieder in einem neuen Thread.
Schon klar, jetzt mit den eventuell geänderten Aspekten, die die alternativen genialen Ausführungen von werner aufgezeigt haben.
Es kann durchaus der Fall sein, dass manche Probleme, in denen man festgefahren erscheint, von einem anderen Blickwinkel gesehen, einen deutlicheren Lösungsweg aufzeigen, und das ist positiv.

Mit deiner Kritik jedoch andere Helfer zu kompromittieren, ist unfair.
Mit dieser rennst du m. E. ohnehin offene Türen ein. Falls das mich betreffen sollte, bin ich, wie schon gesagt, hier ohnehin raus.

Bemerkung: Hinsichtlich Doppelnamen habe ich ja geschrieben: Zeitnah und im gleichen Forum sollte man sie vermeiden. Das ist die Netiquette.

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Genial
Zitat:
Original von Tscheppo
Das ist wirklich genial. Da erkennt man doch den Unterschied zwischen dem Informatiker und dem Mathematiker.

Kann man mit diesem Ansatz auch das Problem der Mittelspunktsberechnung entsprechend der Anlage lösen?


wenn du damit meinst, ob man auch dieses Problem mit trigonometrischen Mitteln lösen kann: ja kann man Augenzwinkern
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung liefert falsche Ergebnis
Hallo Werner,
ich habe deinen Gleichung ergänzt (siehe Bild) und einen konkreten Fall berechnet. Leider bekomme ich falsche Ergebnisse. Was habe ich falsche gemacht?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung liefert falsche Ergebnis
und wo sind deine Ergebnisse?

stell doch einmal konkrete Zahlen hier herein!

edit: warum berechnest du etwas, was ohnehin gegeben ist, z.B. M ???
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Suche K
Entschuldigung, das ich meine Kontrollberechnung nicht mitgeliefert habe. Hole dies heute im Laufe des Vormittags nach.
Ich suche jedoch nicht M sondern K.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suche K
Zitat:
Original von Tscheppo
Entschuldigung, das ich meine Kontrollberechnung nicht mitgeliefert habe. Hole dies heute im Laufe des Vormittags nach.
Ich suche jedoch nicht M sondern K.


naja, vielleicht sollten auch Informatiker nicht dauernd andere Bezeichner wählen unglücklich

aber im Ernst: wie man - von der Dimension her - sofort sehen kann und sollte, habe ich oben das "r" vergessen, bitte korrigiere das bei deiner Betrachtung.
ich erhalte damit die richtigen Werte, soweit man das bei deinem Gekritzel sagen kann.
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungen bringen das erwartete Ergebnis
Hallo Werner,
die Richtigkeit deiner Gleichungen habe ich, wie gewünscht, inzwischen rechnerisch bewiesen (oder wie sagt man das in Mathe-Kreisen). Die Ergebnisse sind bei zwei durchgerechneten Fälle richt. Nochmals Danke.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungen bringen das erwartete Ergebnis
ich habe eigentlich gar nix gewünscht geschockt

ich würde das ganze etwas anders anpacken: geeignet Verschieben und Drehen, sodass P in O(0/0) und X3 (bei dir nun M) auf der positiven x-achse liegen.
Damit wird die ganze Berechnung (fast) trivial, anschließend alles retour.
Kannst es dir ja einmal anschauen Augenzwinkern
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung mittels Drehung
Die Ermittlung der Berührpunkte mittels Drehung, Berechnung und Rückdrehung habe ich schon länger in meinem Plugin realisiert (siehe Anhänge).
Ich wollte es jedoch mal mittels direkter Berechnung versuchen und die Ausführungszeiten der beiden Lösungen miteinander vergleichen.
Methode, in Python geschrieben:
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
  #--------------------------------------------------------------------------------------------
  # Ermittle die Anker- und Kontrollpunkte für die Rundung an Spitze/Ecke bei gegebenem Radius.
  #                            ,    x P
  #                P1 x   '     . ',
  #                         . '   ,                 x ' ' ' x A2
  #                     . '      ,               A1     . '  '
  #                 . '         ,                   . '      '
  #             . '            ,                . '          '
  #         . '               x  P2         . '          A3 x 
  #    M x                              M x 
  # Übergabe:
  #   fM  = Mittelpunktskoordinaten der Spitze.
  #   fP  = Koordinaten von Punkt P.
  #   fPn = Koordinaten von Punkt P1 oder P2.
  #   fR  = Rundungsradius.
  # Rückgabe:
  #   Wurde P1 übergeben, Rückgabe der Anker-/Kontrollpunkte der Rundung in der Form:
  #     [ [xA1,yA1], [xK2a,yK2a, xA2,yA2], [xK2b,yK2b, xA3,yA3] ]
  #   Wurde P2 übergeben, Rückgabe der Anker-/Kontrollpunkte der Rundung in der Form:
  #     [ [xA3,yA3], [xK2b,yK2b, xA2,yA2], [xK2a,yK2a, xA1,yA1] ]
  def berechneRundungspunkte(self, fM, fP, fPn, fR):
    # Form auf die horizontale X-Achse drehen und Drehwinkel fürs Zurückdrehen merken.
    a,b,c,sinAlpha,cosAlpha = self.berechnePythagorasSinCos(fM, fP)
    quadrant, drehWinkel = self.ermittleQuadrantWinkel(sinAlpha,cosAlpha)
    P, P1 = self.dreheKomponente([fP, fPn], fM, drehWinkel)
    p1Uebergeben = True
    if (P1[1] > fM[1]):  # Kontrolle, ob Koordinaten von P1 oder P2 übergeben wurden.
      yP1 = P1[1]  ; P1[1] = fM[1] - (yP1 - fM[1]) # P2-Koordinaten wurden übergeben.
      p1Uebergeben = False
    #
    # Winkel für Gerade P, P1 der gedrehten Form berechnen.
    a,b,c,sinAlpha,cosAlpha = self.berechnePythagorasSinCos(P, P1)
    alpha = abs(math.asin(sinAlpha))  ; beta = abs(math.asin(cosAlpha))
    # Mittelpunkt K des Rundungskreises berechnen.
    xK = P[0] - fR / abs(sinAlpha)  ; yK = P[1]
    # Anker- und Kontrollpunkte B1, B2, B3, B3a, B3b berechnen.
    dx = fR * math.cos(beta)  ; dy = fR * math.sin(beta)
    xA1 = xK + dx  ; yA1 = yK - dy  ; xA3 = xA1  ; yA3 = yK + dy
    xA2 = xK + fR  ; yA2 = yK
    #fRh = fR/2.0 if fR/2.0 < dy else dy/2.0  # Kontrollpunkt-Ausschlag muss < dY sein!
    xK2a = xA2  ; yK2a = yA2 - dy * 0.66  ; xK2b = xA2  ; yK2b = yA2 + dy * 0.6
    #
    # Ermittelte Anker- und Kontrollpunkte um den Drehwinkel zurückdrehen.
    if (p1Uebergeben):
      rPunkte = self.dreheKomponente(
        [ [xA1,yA1], [xK2a,yK2a, xA2,yA2], [xK2b,yK2b, xA3,yA3] ], fM, drehWinkel, False)
    else:
      rPunkte = self.dreheKomponente(
        [ [xA3,yA3], [xK2b,yK2b, xA2,yA2], [xK2a,yK2a, xA1,yA1] ], fM, drehWinkel, False)
    return rPunkte
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung des Kreismittelpunktes K
Hallo Werner,
ich habe in der Zwischenzeit die Formeln in meinen Formberechnungen eingebaut und festgestellt, dass bei der Berechnung des Kreismittelpunktes K der Term
d + k * p - q
bei der Berechnung von l entweder 0 oder eine sehr kleiner Wert 0,00000001 herauskommt.
Kann das sein? Die Endergebnisse stimmen aber immer!
Gruß
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung des Kreismittelpunktes K
Gut, dass du das Zeug kontrolliert hast!!!
klar, dieser Ausdruck MUSS = 0 sein, P liegt ja auf der Geraden unglücklich

das kann man also wegstreichen!
(habe ich nicht geschaut, dazu habe ich ja dich Augenzwinkern )

zu deiner Pn melde ich mich später, bin momentan im Streß, muß oder will ein Bild fertig malen.
Tscheppo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis- und Polarengleichung
Zitat:
Original von riwe
da war ich ja noch ein junges Bürschchen Augenzwinkern

so weit ich heute noch helfen kann: Einsetzen der Polarengleichung ergibt bei mir
für die x-Koordinaten der Berührpunkte:



mit und

was sogar auf das richtige Ergebnis führt

Hallo Werner,

es war echt schwierig, den richtigen y-Wert je nach Lage der Geraden zu programmieren. Es sind mehrere Abfragen unter Zuhilfenahme der Quadranten und dem Radius nötig. Ich ermittle den y-Wert mittels Pythagoras. Gibt es vielleich eine bessere Möglichkeit den y-Wert zu berechnen, sodass die Zuordnung automatisch geschieht?

Momentan versuche ich die Sonderfälle abzuhanden, wenn der Kreismittelpunkt und der Pol eine Waggrechte oder Senkrechte bildet. Da ich die Ableitung noch nicht verstanden habe, tue ich mich echt schwer. Wo muss ich bitte drehen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis- und Polarengleichung
darum würde ich ja "schieben und drehen", da genügt eine einzige Abfrage,
die steht in meiner Excel-Datei in Zelle F19 bzw. F21
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