unitäre trafo

10.07.2007, 12:48

munich

unitäre trafo

Hey Leute,
ich hab die folgende Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & i & 0 &0\\ -i & 2 & 0&0 \\ 0 & 0 & 2&i \\0&0&-i&2\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das charakteristische Polynom ist: $\begin{eqnarray*} (X-1)^2(X-3)^2 \end{eqnarray*}$

Okay, also hab ich die Eigenwerte 1 und 3.

Die Aufgabe: Finden sie eine unitäre Matrix S, so dass $\begin{eqnarray*} \overline S^TAS \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist.

Ich hab jetzt die Eigenvektoren bestimmt:

$\begin{eqnarray*} v_1=(-i,1,0,0)^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2=(0,0,-i,1)^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3=(i,1,0,0)^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_4=(0,0,i,1)^T \end{eqnarray*}$

Bei der unitären Matrix müssen die Spalten ja orthonormal sein, ich hätte also zunächst die Eigenvektoren normiert und mir daraus dann eine Trafomatrix gebaut. Doch wie normiere ich diese Eigenvektoren, denn die haben ja die Norm 0...

Oder bin ich komplett auf dem Holzweg?
thx,
munich

10.07.2007, 13:13

therisen

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RE: unitäre trafo

Zitat:

Original von munich
Ich hab jetzt die Eigenvektoren bestimmt:

$\begin{eqnarray*} v_1=(-i,1,0,0)^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2=(0,0,-i,1)^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3=(i,1,0,0)^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_4=(0,0,i,1)^T \end{eqnarray*}$

Doch wie normiere ich diese Eigenvektoren, denn die haben ja die Norm 0...

Nö. $\begin{eqnarray*} \|v_1\|^2=\langle v_1,v_1\rangle = (\overline{-i})(-i) + 1 = 2 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

10.07.2007, 13:40

munich

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okay, dann normier ich alle Eigenvektoren indem ich sie mal 0.5 nehme.

kann ich dann einfach schreiben: $\begin{eqnarray*} S=(v_1,v_2,v_3,v_4) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich dann $\begin{eqnarray*} \overline S^T A S \end{eqnarray*}$ rechne kommt aber keine Diagonalmatrix raus...
Was mach cih da falsch?

10.07.2007, 13:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von munich
okay, dann normier ich alle Eigenvektoren indem ich sie mal 0.5 nehme.

Nein.

10.07.2007, 16:02

munich

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Okay, auf Antworten wie die von WebFritzi kann ich definitiv verzichten, bin für Hilfe dankbar, aber ned für so nen Schwachsinn, ein bloßes "Nein" hilft mir definitiv nicht weiter.
Also, für ernst gemeinte kompetente Hilfe wär ich dankbar, für WebFritzi-Gelaber besteht kein Bedarf.
munich

10.07.2007, 16:27

WebFritzi

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Zitat:

Original von munich
Okay, auf Antworten wie die von WebFritzi kann ich definitiv verzichten, bin für Hilfe dankbar, aber ned für so nen Schwachsinn, ein bloßes "Nein" hilft mir definitiv nicht weiter.
Also, für ernst gemeinte kompetente Hilfe wär ich dankbar, für WebFritzi-Gelaber besteht kein Bedarf.
munich

Dann haste Pech gehabt. Wer nicht selber denkt, verliert.

10.07.2007, 16:45

therisen

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Schau mal, ich hab doch das Quadrat der Norm berechnet.

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