Zahlensysteme umrechnen

06.02.2005, 19:55

Yet Another Gast :-)

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Zahlensysteme umrechnen

Hi,

kennt jemand eine gute Methode um schnell Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umzurechnen?

Um folgende Zahlensysteme geht es: hexadezimal, dezimal, oktal, binär

bin ---> hex , dez, okt

hex ----> bin, dez, okt

dez ----> bin, hex, okt

okt ----> bin, hex, dez

Natürlich alles per Hand! Toll wäre wenn ihr zu jedem ein Beispiel hättet :-)

Ich sach Schon mal DANKE!!

06.02.2005, 20:13

Calvin

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RE: Zahlensysteme umrechnen
Ich mache mal einen unvollständigen Anfang Augenzwinkern

Augenzwinkern

bin -> okt
Teile die Binärzahl von rechts ausgehend in 3er-Blöcke einund wandle jeden 3er-Block einzeln in eine Oktalzahl um. Das kannst du machen, da du mit 3 Binärziffern jeweils die Zahlen von 0 bis 7 darstellen kannst.
z.B. 11001011101 einteilen in 11 | 001 | 011 | 101 ergibt 3135 im Oktalsystem

bin -> hex
Wie oben, nur mit 4er-Blöcken.

dez -> bin/okt/hex
Teile die Zahl solange durch 2 (bzw. 8 oder 16) bis sich 0 ergibt und notiere jeweils den Rest. In umgekehrter Reihenfolge ergibt sich die Binärzahl.
z.B. 25 : 2 = 12 Rest 1
12 : 2 = 6 Rest 0
6 : 2 = 3 Rest 0
3 : 2 = 1 Rest 1
1 : 2 = 0 Rest 1

Daraus ergibt sich die Binärzahl 11001

bin/hex/okt -> dez
Da werde ich ein bißchen formaler: Es sei z.B. $\begin{eqnarray*} z=a_na_{n-1}\ldots a_2a_1a_0 \end{eqnarray*}$ eine Zahl im Binärsystem. Dann rechnest du über die Formel $\begin{eqnarray*} z=\sum_{i=0}^n a_i2^i \end{eqnarray*}$ ins Dezimalsystem um.

Analog funktioniert das mit dem Oktal- und Hexadezimal-System. Setze statt der 2 eine 8 bzw. 16.

okt/hex -> bin
Jede einzelne Ziffer kann man relativ bequem ins Binärsystem umrechnen (ergibt jeweils 3 bzw. 4 Bit). Und dann kannst du das jeweils zusammenfügen.

So, das war es mal für den Anfang Augenzwinkern

Augenzwinkern

Versuche mal zu verstehen, warum die Umrechnungen so sind. Dann kannst du sie dir auch leicht merken. Ist nicht so schwierig.

06.02.2005, 20:13

Leopold

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Bis auf das Oktalsystem ist alles hier erklärt. Aber Letzteres geht analog zum Hexadezimalsystem.

06.02.2005, 20:17

Mathespezialschüler

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Also ich würde einfach die Zahl ausschreiben und es dann nach Potenzen des geforderten Systems ordnen.
Beispiel:

Rechne $\begin{eqnarray*} (635)_{10} \end{eqnarray*}$ ins Binärsystem um! Jetzt musst du rumprobieren, welche Potenz von 2 (natürlicher Exponent natürlich) da noch "reinpasst". Das ist $\begin{eqnarray*} 512=2^9 \end{eqnarray*}$ . Das abziehen und weiter machen:

$\begin{eqnarray*} 635=2^9+123 \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du die Potenz von 2, die da noch reinpasst. Das ist $\begin{eqnarray*} 64=2^6 \end{eqnarray*}$ . Das wieder abziehen usw.

$\begin{eqnarray*} 635=2^9+2^6+59=2^9+2^6+2^5+27=2^9+2^6+2^5+2^4+11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2^9+2^6+2^5+2^4+2^3+3=2^9+2^6+2^5+2^4+2^3+2^1+2^0 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} (635)_{10}=(1001111011)_2 \end{eqnarray*}$

06.02.2005, 21:29

hummma

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Zum kontrolieren kannst du den Windowstaschenrechner hernehmen.

06.02.2005, 21:54

kurellajunior

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Ergänzung
Hallo YAG,

Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten der Umrechnung: Im Zielsystem oder im Ausgangssystem umrechnen:

Am Beispiel Binär --> Oktal
1. Im Ausgangssystem (binär)
Zahl: 10011101
Basis des Zielsystems: 1000
Ermittlung der Zielzahl:

10011101 : 1000 = 10011 R:101 --> 5
1000
0001110
0001000
00001101
00001000
00000101

10011 : 1000 = 10 R:11 --> 3

10 : 1000 = 0 R:10 --> 2

Oktal: 235

Dieses Prinzip funktioniert bei allen Basen aller Systeme. Also Auch von Basis 7 auf Basis 3 (Eine meiner Lieblingsprüfungsaufgaben...)

2. Im Zielsystem

Dazu bestimmst Du den Wert jeder Stelle im Zielsystem, selbes Beispiel:
10011101
Stellenwerte im Zielsystem:
$\begin{eqnarray*} 1&\rightarrow 1\\10&\rightarrow 2\\100&\rightarrow 4\\1000&\rightarrow 10\\10000&\rightarrow 20\\100000&\rightarrow 40\\1000000&\rightarrow 100\\10000000&\rightarrow 200 \end{eqnarray*}$

Originalzahl auswerten:
$\begin{eqnarray*} 200 + 20+10+4+1=235 \end{eqnarray*}$

Das schwierige an dieser Methode ist, dass Du in einem ungewohnten Zielsystem arbeiten musst... zB im System zur Basis 3, die oben erwähnte Prüfungsaufgabe.

Wenn Du oder andere Lust haben das zu probieren geb ich hier ein zwei Aufgaben die ich dann auch kontrolliere Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bitte immer im Zielsystem als auch im Ausgangssystem arbeiten...
Die Basen sind der Einfachheit halber im Dezimalsystem angegeben:

$\begin{eqnarray*} 12_5\rightarrow B_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 236_{16}\rightarrow B_2 \mbox{und} B_8 \end{eqnarray*}$

Viel Spaß, wenn Du die richtig hast, kann Dich nix mehr schocken...

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06.02.2005, 22:29

Mathespezialschüler

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Ich verstehe nich ganz, wie das Teilen funktioniert.

Z.B. bei der Aufgabe: Wie teile ich 236:2, so wie du es gemacht hast und so, dass da nicht 118 rauskommt?? verwirrt

verwirrt

06.02.2005, 22:33

kurellajunior

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Du willst $\begin{eqnarray*} 236_{8} \end{eqnarray*}$ ins Binärsystem umwandeln durch rechnen im Ausgangssystem?

Wenn ja, dann ist $\begin{eqnarray*} 236_{8}:2_{8}\neq 118_{8} ! \end{eqnarray*}$
Du musst Oktal dividieren (schriftlich).
Ich machs mal:
236 : 2 = 117 R:0
2
03
02
016
016
000

Weil: Oktal: 1;2;3;4;5;6;7;10;11;12;13;14;15;16 Ergo: $\begin{eqnarray*} 2_{8}\cdot 7_{8}=16_{8}! \end{eqnarray*}$
Nicht ins Bockshorn jagen lassen Mit Zunge

Mit Zunge

EDIT: Allerdings war mein Beipiel mit 235 verwirrt

verwirrt

Also nochmal damit:
235 : 2 = 116 R:1
2
03
02
015
014
001
Weil $\begin{eqnarray*} 2_{8}\cdot 6_{8}=14_{8}! \end{eqnarray*}$

Jetzt alles klar? Auch beim Threadöffner, die Aufgaben sind nicht allzu schwierig Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.02.2005, 22:43

Mathespezialschüler

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Eigentlich ging es doch um $\begin{eqnarray*} 236_{16} \end{eqnarray*}$ ins Binärsystem umzurechnen verwirrt

verwirrt

Ok, ich glaub,ich hab das verstanden. Aber dauert so eine Teilung dann nicht übelst lange? Ich würde das dann erst in Dezimalsystem umrechnen und dann teilen und dann wieder zurückrechnen.
Oder lernt man nach einiger Zeit, in allen Systemen zu teilen?

06.02.2005, 22:49

kurellajunior

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Eigentlich ging es doch um $\begin{eqnarray*} 236_{16} \end{eqnarray*}$ ins Binärsystem umzurechnen verwirrt

verwirrt

Ist mir entgangen wo diese Frage steht ich dachte war allgemein...
Ja mit der Zeit lernt man binär, oktal und Hexadezimal zu denken, aber in der Regel wird im Kopf alles ins dezimalsystem gerechnet und dann zurück. Aber in der Programmierung macht es keinen Sinn den Pomputer erst ins dezimalsystem zu scheuchen und dann in ein anderes, dem isses nämlich wurscht welche Basis er nimmt. Deswegen werden wir armen Programmierer mit solchen lustigen aufgabe gequält (Bitte kein Mitleid, habs mir ja ausgesucht *g*) Allerdings ist das Abstraktionstraining durch die beiden Aufgaben oben enorm und ist dem grundsätzlichen Verständnis unseres Stellenwertsystems sehr zuträglich. Übrigens ist rein logisch die Basis 12 die effektivste.
Jan

07.02.2005, 10:18

AD

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Zitat:

Original von kurellajunior
Übrigens ist rein logisch die Basis 12 die effektivste.

Hehe, du willst wohl eine Diskussion entfachen. Big Laugh

Big Laugh

Rein logisch würde ich das nicht gerade nennen, wohl eher einen Kompromiss zwischen Größe des zu lernenden ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Einmaleins und angenehmen Teilbarkeitseigenschaften.

Wenn einem das erste nicht so wichtig ist, sondern eher das zweite, dann klingt auch Basis 30 ganz gut. Irgendwann gehen einem halt nur die Buchstaben aus...

07.02.2005, 10:57

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Hehe, du willst wohl eine Diskussion entfachen. Big Laugh

Big Laugh

Hmm naja, vielleicht?
Allerdings gebe ich zu, dass die Wortwahl "logisch" nicht ganz glücklich war. "Effizient" mit Deinen erwähnten Argumenten ist wohl der bessere Ausdruck Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wenn einem das erste nicht so wichtig ist, sondern eher das zweite, dann klingt auch Basis 30 ganz gut. Irgendwann gehen einem halt nur die Buchstaben aus...

Da haben wir ja noch eine Menge Zeichensysteme auf dieser Welt derer wir uns bedienen können...

07.02.2005, 11:29

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel chinesische Big Laugh

Big Laugh

Ich schlage die Zahl 2520 (dezimal) als Basis des Zahlsystems vor. Das ist die kleinste durch 1,2,...,10 teilbare natürliche Zahl. Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

07.02.2005, 11:37

kurellajunior

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Zitat:

Original von Leopold
[...]Das ist die kleinste durch 1,2,...,10 teilbare natürliche Zahl. Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Ihr Schelme ihr, aber von eurer geliebten 10 könnt ihr nicht lassen, oder?
Allerdings bezweifele ich die Erfolge in der ersten Klasse den Kiddies $\begin{eqnarray*} 2520_{\mbox{dec}} \end{eqnarray*}$ Ziffern beizubringen oder gar $\begin{eqnarray*} 6350400_{\mbox{dec}} \end{eqnarray*}$ Gleichungen des kleinen 1x1 auswendig zulernen. Man stelle sich das große 1x1 vor... *fieses grinsen*
Da hilft nur noch: Prost

Prost

07.02.2005, 11:56

Leopold

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... und zu guter Letzt:

Warum verwechseln Informatiker Halloween mit Weihnachten?

Antwort: Wegen $\begin{eqnarray*} 31 \text{ Oct} = 25 \text{ Dec} \end{eqnarray*}$

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

07.02.2005, 12:48

kurellajunior

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LOL Hammer

Den werd ich wohl dringend verbreiten müssen...

07.02.2005, 12:48

rontho

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Ich muss noch auch noch was loswerden.

Beispiel:
Die Hex-Zahl:

$\begin{eqnarray*} Hex: {7}{ F}{ B} \end{eqnarray*}$

Umwandlung ins Binärsystem:

$\begin{eqnarray*} Bin: 1111 \mid 0111 \mid 1011 \end{eqnarray*}$

Zur Umwandlung ins Oktalsystem, einfach aus der Bin-Zahl,
Dreiergruppen bilden

$\begin{eqnarray*} 111 \mid 101 \mid 111 \mid 011 \end{eqnarray*}$

entspricht dann

$\begin{eqnarray*} Oktal: {7}{5}{7}{3} \end{eqnarray*}$

07.02.2005, 12:51

kurellajunior

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äähm:
$\begin{eqnarray*} Hex: {7}{ F}{ B}=Bin: 0111 \mid 1111 \mid 1011 = 011 \mid 111 \mid 111 \mid 011= Oktal: {3}{7}{7}{3} \end{eqnarray*}$ [/quote]

...

07.02.2005, 12:53

Leopold

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@ rontho

... wie ich hier bereits ausgeführt habe

23.08.2010, 15:32

guest#1

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rontho meinte wohl F7B hex, nicht 7FB hex..
dann stimmts mit 7573 oct (;

23.08.2010, 15:39

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mal fast behaupten, dass du 4 Jahre zu spät bist...

Wieso kramt man eigentlich so alte Threads immer mal wieder hervor? verwirrt

verwirrt

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