Herleitung der Ellipsengleichung

06.02.2005, 20:19

Yggr

Herleitung der Ellipsengleichung

moin,

wenn man aber einen Kreis betrachtet und den auf eine andere Ebene projiziert, die nicht parallel zu der Ebene auf der der Kreis liegt, ist (mit anderen Worten man streckt/staucht einen Kreis), dann erhält man folgendes:

Kreisformel:
x = r*cos(t)
y = r*sin(t)

davon abgeleitete Ellipsenformel:
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)

2a ist die Breite der Ellipse und 2b ist die Höhe.
Diese Ellipse befindet sich in der Normalform, wenn man den Schwerpunkt zu einem anderen verschieben will, dann muss man zu dem x-Wert noch den x-Wert des neuen Mittelpunkts addieren, genauso beim y-Wert und das selbe Verfahren kann man auch beim Kreis anwenden...

t ist aus dem Intervall von -PI bis PI

Zitat:

Definition der Ellipse:
Die Ellipse besteht aus allen Punkten, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten - den Brennpunkten - konstant ist.

Nur wie beweist man, dass ein gestauchter Kreis eine Ellipse ist?

06.02.2005, 20:33

Mathespezialschüler

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RE: Herleitung der Ellipsengleichung

Zitat:

Original von Yggr
davon abgeleitete Ellipsenformel:
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)

Nur wie beweist man, dass ein gestauchter Kreis eine Ellipse ist?

Wenn das gegeben ist und du weißt, dass die Ellipsengleichung $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$ ist, dann mach folgendes:
Quadriere die beiden obigen Gleichungen, teile dann durch a² bzw. b² und addiere schließlich beide Gleichungen, fertig.

07.02.2005, 11:52

Leopold

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Ich denke, Yggr will von der geometrischen Definition als Ortslinie über die Brennpunkte auf die Koordinatengleichung kommen.

Dazu setzt man am besten

$\begin{eqnarray*} F = (e,0) \, , \ F' = (-e,0) \end{eqnarray*}$

für die Brennpunkte und $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ als Summenwert der Abstände $\begin{eqnarray*} r,r' \end{eqnarray*}$ eines Ellipsenpunktes von den Brennpunkten an ( $\begin{eqnarray*} 0<e<a \end{eqnarray*}$ ). Ferner definiert man

$\begin{eqnarray*} b = \sqrt{a^2 - e^2} \end{eqnarray*}$

Und der Rest ist eine Fleißaufgabe.

Ist $\begin{eqnarray*} P = (x,y) \end{eqnarray*}$ ein Ellipsenpunkt, so berechne man mit Pythagoras $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r' \end{eqnarray*}$ . In

$\begin{eqnarray*} r + r' = 2a \end{eqnarray*}$

isoliere man eine Wurzel und quadriere. Dabei bleibt eine Wurzel in der Rechnung stehen. Diese muß erneut isoliert und die Gleichung quadriert werden. Wenn man sich dabei nicht hundertmal verrechnet, bekommt man tatsächlich:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 \end{eqnarray*}$

07.02.2005, 15:02

Yggr

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danke danke...

...aber ich denke mal, dass ich es trotzem anders machen werde. Ich habe nämlich gehört, dass es mehrere Versionen für die Definition einer Ellipse gibt. Ich versuche einfach eine aufzutreiben, wo eine ellipse ein gestauchter Kreis ist, die ich dann auch zitiere, und leite davon die Ellipsenformel ab. Das ist besonders in Parameterform recht einfach.

danke
gruß
Lugor

07.02.2005, 17:07

riwe

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noch ein vorschlag:
die kreisgleichung $\begin{eqnarray*} x^{^2}+ y^{2} = r^{2} \end{eqnarray*}$
geht mit der koo-transformation
$\begin{eqnarray*} x=au+bv \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=cu-\frac{ab}{c} v \end{eqnarray*}$
über in
$\begin{eqnarray*} \frac{u^{2}}{A^{2}} +\frac{v^{2}}{B^{2}}=1 \end{eqnarray*}$
und das ist die gleichung der ellipse in der 1. hauptlage
A = A(a,c,r), B = B(a,b,c,r)
werner

05.06.2010, 16:08

hannah89

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@leopold

das problem ist aber, dass man r und r' nicht mit dem pythagoras berechnen kann, denn in einem bereich ist r²=r'²+(2e)² und in einem anderen (2e)²=r²+r'².

28.01.2015, 12:01

Gwunderi

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Hallo zusammen,

Geht es nicht viel einfacher?

Wenn es ein Kreis wäre, gilt:

x = a * cos(t)
y = a * sin(t)

Nun ist aber der y-Wert b * sin(t), also um den Faktor b/a "gestaucht" (bzw. gestreckt wenn b > a).

Und alle y-Werte mit demselben Faktor multipliziert ergibt ja eine Stauchung (bzw. Streckung) der ursprünglichen Figur.
Also ist eine Ellipse ein gestauchter Kreis.

28.01.2015, 18:25

mYthos

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Ob nun dieser "gestauchte Kreis" eine Ellipse ist, muss jedoch noch bewiesen werden.
Du hast ja bis jetzt nichts anderes gemacht, als alle Ordinaten der Kreispunkte mit dem Faktor b/a multipliziert.
--------
Dieser Beweis ist aber recht einfach, er geht in 2 Zeilen mittels einer einfachen Transformation.
Damit gewinnen wir u.a. auch:

Die Ellipse ist das affine Bild ihres Hauptscheitelkreises (zwischen HSK und Ell herrscht perspektive Affinität, Aff. Achse ist die Hauptachse, die Aff.strahlen sind die Senkrechten zu der Aff.achse (--> die Ordinaten)
Es gibt auch noch eine Affinität zu dem Nebenscheitelkreis.

Darauf beruht die Konstruktion von Ellipsenpunkten mittel Proklus.

mY+

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