Separabilität / gleichmäßige Konvergenz in C hoch k (Raum der k-mal stetig diffbaren Fkt.) |
| 10.07.2007, 17:11 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Separabilität / gleichmäßige Konvergenz in C hoch k (Raum der k-mal stetig diffbaren Fkt.) es geht um den Raum der k-mal stetig diffbaren (komplexwertigen) Funktionen auf einem Kompaktum. Hierbei um die Frage, ob es eine abzählbare dichte Teilmenge gibt (das bedeutet dann, daß der Raum"separabel" ist). Für k = 1 ist die Sache klar (jedenfalls für X Teilmenge von R oder C). Mit dem Satz von Stone-Weiterstraß hat man, daß die Menge der Polynome mit rationalen Koeffizienten dicht liegt in dem o. g. Raum. Und diese Menge ist abzählbar. Nun soll das ganze aber auch für beliebiges k gelten. Ich habe das nur in einem Buch als Bemerkung gefunden, und nirgends einen Beweis. Problematisch ist dabei, daß auf den fraglichen Räumen eine etwas komplizierte Norm definiert wird, namentlich die Norm ||f|| := Summe (von i = 0 bis k) sup (über x aus X) |i-te Ableitung von f an der Stelle x). Konvergenz in dieser Norm bedeutet die gleichmäßige Konvergenz aller existierenden (stetigen) Ableitungen. Problem ist für mich dies: Ich kann zwar - wiederum mittels des Satzes von S.W. - zunächst zeigen, daß für jede k-mal stetig diffbare Funktion ein Polynom existiert, daß gleichmäßig dagegen konvergiert. Bekanntlich läßt sich daraus aber nicht folgern, daß die Ableitung überhaupt konvergiert, und selbst wenn sie konvergiert, muß sie nicht gegen die Ableitung der Grenzfunktion konvergieren. Ich bekomme also auf diesem Weg so einfach keine Konvergenz in der o. g. Norm. Oder gibt es einen Satz der Art, daß, wenn (p_n) eine Folge von Polynomen ist, die glm. gegen eine k-mal stetig diffbare Fkt. f konvergiert, auch die Folge der ersten Ableitungen (induktiv hätte man dann alle folgenden auch erschlagen) gleichmäßig gegen die Ableitung von f konvergiert? Den einzigen Satz, den ich in dieser Richtigung gefunden habe, ein klassischer Satz aus der Grundvorlesung, gibt mir diese Folgerung zwar in umgekehrter Richtung (also ausgehend von der Folge der ersten Ableitungen zurück auf die Funktionenfolge selbst, d. h. die Folge der Stammfunktionen), und das würde auch genügen, aber selbst dafür brauche ich dann die Konvergenz der Folge der Stammfunktionen wenigstens für ein x, und so wenig das zu sein scheint, ich kriege es einfach nicht hin. Oder stimmt der Satz, um den es oben geht, am Ende gar nicht? Wer's nachlesen will: Das Problem taucht auf im Zshg. mit Separabilität von Funktionenräumen, als Anwengung des Satzes von Stone-Weierstraß. |
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| 10.07.2007, 17:30 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Separabilität / gleichmäßige Konvergenz in C hoch k (Raum der k-mal stetig diffbaren Fkt.)
Ein Kompaktum in dem topologischen Raum der Äpfel und Birnen? Welche Norm hat dein Raum? |
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| 10.07.2007, 18:39 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Nachfrage. Mein Beitrag ist aber nicht so lückenhaft. Ich hatte bereits angedeutet, daß wir X als Teilmenge von R oder C betrachten wollen, und die Norm ist oben auch angegeben. |
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| 10.07.2007, 18:43 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe aber gerade einen Tippfehler entdeckt: ||f|| := Summe (von i = 0 bis k) sup (über x aus X) |i-te Ableitung von f an der Stelle x| (d. i. die Summe der Suprema [= Maxima] auf X der Beträge der Ableitungen). Konvergenz in dieser Norm bedeutet die gleichmäßige Konvergenz aller existierenden (stetigen) Ableitungen. |
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| 10.07.2007, 18:45 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei den fraglichen Räumen handelt es sich um klassische Banachräume. Deshalb sollte eigentlich das Problem, um das es geht, vielfach beschrieben sein; ich finde aber nicht mehr als eine Bemerkung ohne Beweis in einem Lehrbuch. |
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| 10.07.2007, 20:44 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Benutze doch bitte den Formeleditor. So hat keiner Lust, sich das durchzulesen. |
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| 12.07.2007, 16:22 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach, so wichtig ist es auch nicht, dann frag' ich eben meinen Prof. 
Übrigens ist der Banachraum, um den es geht, und auch die Norm, die sich ohne Formeleditor keiner ansehen mag, klassisch. Ich hätte erwartet, daß sie dem einen oder anderen - so wie das Problem, um das es geht - ohnehin geläufig ist. Ich denke auch nicht, daß man die Frage so im Vorbeigehen beantworten kann, wenn man den Sachverhalt nicht schon mal gesehen hat. |
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| 13.07.2007, 03:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist bestimmt auch so. Aber du siehst ja: Wenn du dir keine Mühe gibst (Stichwort: Formeleditor), dann fragen sich die Leute, warum sie sich die Mühe machen sollen. |
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| 13.07.2007, 13:16 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schon recht. Daß ich mir bei meinem Beitrag keine Mühe gegeben hätte, sehe ich allerdings anders. Mühe äußert sich ja nicht nur in der Benutzung des Formeleditors, die ich übrigens versucht habe - sie ist mir schlicht nicht gelungen. Ich habe auch von Latex praktisch keine Ahnung. Und wenn Du mir jetzt zu verstehen gibst, daß hier Lesende auf der Antwort zu meiner Frage sitzen, sie aber nicht hergeben, bloß weil ich den Formeleditor nicht benutzt habe - alles klar.
Aber gut jetzt. 
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| 14.07.2007, 00:52 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ne, das wollte ich damit nicht ausdrücken. Die Leute fangen vielleicht an zu lesen, haben dann aber keine Lust mehr wegen fehlender Leserlichkeit. Du hast meines Erachtens 2 Dinge nicht richtig gemacht: 1.) Formeleditor nicht benutzt 2.) Symbole gar nicht oder erst viel später erklärt. Da steigen die meisten schon nach den ersten Zeilen aus. Ich hoffe, du verstehst mich jetzt besser. |
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| 14.07.2007, 02:57 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, danke für die Erläuterung. |
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| 14.07.2007, 04:32 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich mich nicht total verdenke, ist es ganz einfach, du mußt nur mal den Knoten im Gehirn lösen, und etwas die Richtung, aus der du das Problem angehst, ändern: Approximiere die k-te Ableitung f^(k) durch eine Folge von Polynomen (nach Weierstraß möglich). Dann kannst du auch etwas über die gleichmäßige Konvergenz sagen, wenn du das alles integrierst. Und dann halt induktiv hochziehen. PS: Falls jemand ein Beispiel kennt, bei dem aus der gleichmäßigen Konvergenz einer Folge von Polynomen p_n gegen ein stetig differenzierbares f NICHT folgt, daß p'_n gleichmäßig gegen f' geht, dann immer her damit. Oder alternativ halt einen Beweis des Gegenteils. Ich hab da nämlich auch grad nen Knoten. Falls keine Polynome, sondern eine beliebige Folge gewählt wird, gibt es Gegenbeispiele, soweit klar, aber mit Polynomen fällt mir grad keins ein. Allgemein gilt erstmal nur, daß wenn p'_n gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert, dann diese schon mit f' identisch sein muß. Edit: Naja, sowas ähnliches hast du ja schon geschrieben. Ich hab hier auch so einen Satz, in dem wird aber nur gefordert, daß f_n->f glm. und nicht noch die Konvergenz der Stammfunktion in einem Punkt. Ebenso wie in meinen Aufzeichnungen steht es auch hier ohne diese zusätzliche Forderung :http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%...Fige_Konvergenz Und in dem Beweis kann ich auch keine Stelle entdecken, in der ich diesen einen von dir erwähnten Punkt noch brauche. |
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| 14.07.2007, 16:41 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein inhaltlicher Beitrag! Danke, daß Du trotz der von WebFritzi aufgezeigten Mängel Dich um meine Frage bemühst. 
Ja, ich hoffe auch, daß es so einfach ist - der Umstand, daß ich dazu nichts gefunden habe, deutet ja nachgerade auf eine Trivialität hin. Allerdings kann ich Deine Lösung noch nicht nachvollziehen. Zunächst: Ja, ich hatte auch schon die Idee, es von der anderen Seite, also rückwärst schließend von der Folge der Ableitungen auf die der Stammfunktionen zu versuchen. Das schien mir vor allem deshalb sinnvoll, weil bei diesem Weg zumindest die - vorausgesetzte - Existenz und stetige Differenzierbarkeit der Grenzfunktion benutzt wird; auf dem anderen Weg schließt man die Existenz bzw. Eigenschaften der Grenzfunktion typischerweise ja erst mit Hilfe der glm. Konvergenz aus den Eigenschaften der Funktionenfolge - hier unnötig. Da hätte man also Voraussetzungen vergeudet. Der von mir oben zitierte Satz lautet vollständig so: Ist - jedes fn differenzierbar - und konvergiert (fn') glm - und konvergiert (fn(x)) wenigstens für ein x (*) Dann konvergiert (fn) glm. gegen f, f ist differenzierbar und (fn') konvergiert glm gegen f'. Ich dachte an diesen Satz, weil ich ja glm. Konvergenz in beiden Fällen brauche. Hier stieß ich aber auf das Problem, daß ich in der vorliegenden Situation aus der glm. Konvergenz der (fn') als Polynomfolge selbst gegen ein stetiges g nicht (*) folgern konnte. 
Den Satz, den Du angibst, hatte ich auch schon gesehen, und ich wünsche mir, daß er den richtigen Weg weist. Das große Problem, das ich aber damit habe, ist: Konvergiert die Folge der Stammfunktionen auch gleichmäßig? So, wie ich den Satz sehe (dessen Beweis ja reichlich simpel ist), gilt das nicht ohne weiteres. Der Satz selbst spricht ja auch nur von der Folge der bestimmten Integrale. Sobald ich hier die obere Integrationsgrenze durch eine unabhängige Variable ersetze, um statt dessen Stammfunktionen zu erhalten, bekomme ich m. E. eine punktweise Abhängigkeit der Konvergenz. Was meinst Du? Ich dachte zwischenzeitlich (insbesondere bei der Lektüre des Wikipediaartikels) daran, ob gleichgradige Stetigkeit vielleicht weiterhilft, notfalls Arzela-Ascoli. Damit könnte man aus pktw. Konvergenz ja glm. machen. Aber woher die gleichgradige Stetigkeit nehmen? Was Dein "PS" angeht, sind wir ja dabei zu beweisen, daß es ein solches Beispiel zumindest für kompakten Definitionsbereich nicht gibt. Aber was meinst Du dort mit: "Allgemein gilt erstmal nur, daß wenn p'_n gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert, dann diese schon mit f' identisch sein muß." |
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| 14.07.2007, 17:49 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach, ich bin doof. Die pktw. Abhängigkeit bei der Folge der Stammfunktionen ist ja in Wahrheit doch keine. Stimmt das dann doch so, daß ich den Satz über die Folge der Integrale entsprechend für die Stammfunktionen verwenden kann? Dann wäre es das. (Ich wundere mich nur, daß der Satz dann nicht gleich so formuliert ist und nur über die Folge der Integrale spricht.) |
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| 14.07.2007, 17:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sei k = 1. Wähle eine Folge p_n von Polynomen, die gleichmäßig gegen f' konvergiert. Dann folgt Nach einer kleinen Überlegung kannt du jetzt deinen zitierten Satz verwenden. |
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| 15.07.2007, 18:18 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@WebFritzi: Danke, aber ich komme leider auch damit nicht weiter bzw. verstehe Deinen Hinweis nicht. Bezeichnungen wie bei Dir; die Stammfunktion von p_n bezeichne ich mit P_n. Problem: Ich habe aufgrund des zuletzt verwendeten Satzes zunächst nur Für alle > 0 ex. N, s. d. |P_n(x) - P_n(a) - f(x) + f(a)| < für alle n größer N und für alle x. (*) Die Konvergenz wäre also hinsichtlich der Variable x zwar schon gleichmäßig, aber ich weiß daraus noch gar nicht, ob in der Tat auch nur für ein einziges x gilt P_n(x) -> f(x) für n gegen Unendlich, da in der obigen Ungleichung die Folgen (P_n(x)) und (P_n(a)) jede für sich auch divergieren, nur in der Summe konvergieren könnten oder zumindest nicht gegen den jeweiligen Wert von f an der Stelle konvergieren müssen, sondern jeweils "Residua" hinterlassen könnten mit unterschiedlichem Vorzeichen, die sich in der Summe aufhöben. Kurz gesagt: Ich weiß immer noch nicht (einmal), warum auch nur (P_n(a)) konvergieren muß. Es reicht doch in (*) aus, wenn nur die Differenzfolge (P_n(x) - P_n(a)) gegen f(x) - f(a) konvergiert. Aber das genügt mir doch nicht? |
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| 15.07.2007, 21:19 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe nicht, was dein Problem ist. Es gilt Sei (f_n) Folge (stetig?) diffbarer Funktionen auf [a,b]. Aus (a) f_n' konvergiert gleichmäßig gegen g, (b) f_n konvergiert punktweise gegen f folgt dann, dass f diffbar ist, dass f_n gegen f gleichmäßig konvergiert und f' = g. Wähle nun wie gesagt eine Folge von Polynomen p_n, die gleichmäßig gegen f' konveriert. Sei P_n eine Stammfunktion von p_n mit P_n(a) = f(a). Das geht! Auch die P_n sind Polynome, und mit meinem vorigen Beitrag folgt, dass P_n gegen f punktweise konvergiert. Jetzt kannste den Satz anwenden. Also gilt: 1. P_n konvergiert gleichmäßig gegen f 2. P_n' konvergiert gleichmäßig gegen f' Also liegt die Menge der Polynome dicht in deinem Raum. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass du jedes Polynom innerhalb deines Raumes approximieren kannst durch Polynome mit rationalen Koeffizienten. |
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| 15.07.2007, 21:40 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kein Wunder. Ich stand selbst so dicht davor, daß ich es einfach nicht gesehen habe. Ich danke Dir für Deinen Hinweis, da wäre ich so bald nicht mehr d'rauf gekommen.
Den Stammfunktionen einen Wert vorschreiben! Nur das hat mir gefehlt. Irgendwann streifte mich so eine Ahnung, aber ich hab's nicht gerafft. Wie doof. DOOF! 
Rest war klar. Danke. 
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| 15.07.2007, 21:47 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
P. S. Mein Problem war in der Tat nur noch P_n(a) -> f(a). Mit Deinem Argument ist das erschlagen, und dann brauchen wir nicht einmal mehr den anderen Satz (über die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion). Denn dann ergibt sich schon aus (*) in meinem vorvorigen Beitrag direkt die glm. Konvergenz der Stammfunktionen (zumindest wenn man sich den Beweis des Satzes über die Integrale/Integrierbarkeit der Grenzfunktion ansieht - ich meine das in Deinem vorangegangen Beitrag verwendete Resultat). |
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| 15.07.2007, 21:59 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na supi. Dann ham wa's ja jetze. 
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