Darstellungsmatrix

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pelzor Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix
Hi,
vieleicht kann mir jemand erklären was eine Darstellungsmatrix ist...
Ich kann sie zwar berrechnen, hab aber keine Ahnung was man damit macht.

Vielen Dank.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

naja, ich machs mal als ganz konkretes beispiel....

f: IR³->IR³ eine abbildung
dann ist die darstellungsmatrix von f eine 3x3-matrix (:=A), sodass für alle x aus IR³ gilt: f(x)=A*x

hilft dir das schon weiter?


edit: IR³ Hammer vertippt, müssen natürlich aus dem urbildraum (in meinem beispiel IR³ sein)
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich hab hier noch eine Aufgabe:

Eine Abbildung f : IR^4 -> IR^3 sei für definiert durch f(x)=A*x, wobei

ist. Dann müsste das ja eine Darstellungsmatrix sein?

Mein Problem hatte ich bei einer Aufgabe in der wir die Darstellungsmatrix bezüglich unterschiedlicher Basen berrechnen sollten.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann müsste das ja eine Darstellungsmatrix sein?

ja das ist die darstellungsmatrix bzgl. einer basis deines vektorraums IR^4..
verstehe ich dein problem richtig, du sollst das bezüglich einer anderen basis darstellen?


hab das mit dem IR² oben editiert, war ein tippfehler, sorry.
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich sag mal die Aufgabe:

lineare Abbildung: f: IR³->IR² sei definiert durch

Bestimme die Darstellungsmatrix M(f) bezüglich der Basen .

M(f) ist dann .

Das geht alles klar. Aber kann man jetzt nicht noch irrgendwie zur Probe rückwärtz rechnen? Vieleicht wirds dann klarer...

Irrgendwie schnall ich auch noch nicht den Zusammenhang mit den unterschiedlichen Basen. Wenn man die kanonischen nimmt kommt ja raus, was gerade der Anfangsbedingung entspricht.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

uff, da müsste ich ganz tief in meinem LA1/2 wissen graben....
vielleicht hat da grad jemand anders mehr ahnung von....

ich verbinde das ganze grad mit basiswechselmatrizen.... sagt dir das was?

mfg jochen
 
 
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich zwar noch nie gehört, klingt aber logisch für mich. Naja berechnen kann ichs ja und ne erklärung wird sicher nicht verlangt. smile

Aber vieleicht kannst du mir noch erklären, wie ich eine Basis zum Kern und eine zum Bild bestimmen kann:
Eine Abbildung f : IR^4 -> IR^3 sei für definiert durch f(x)=A*x, wobei
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich krame mal doch in meinem gedächtnis...
ich hoffe ich erzähle jetzt nix falsches....

sei B eine basis deines urbildraumes V.
f: V-> W eine abbildung....
dann ist f(B) ein erzeugendensystem von W.
also einfach die basisvektoren von V einzeln abbilden und guggen was die bilder davon aufspannen.
die bilder noch evtl. linear unabhängig machen.... (um eine basis zu erhalten!)

kern: gaussalgorithmus anwenden, später "quadrartisch" ergänzen (in diesem fall unten nullzeile abfügen, um 4x4 matrix zu erhalten und -1 trick.....
für den kern keine garantie.....
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und wie komme ich jetzt an das B?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
die bilder noch evtl. linear unabhängig machen.... (um eine basis zu erhalten!)

das ist nicht nötig, unter Umständen auch nicht machbar.
Also es geht um die Aufgabe: Bestimme die Darstellungsmatrix M(f) bezüglich der Basen .
Im Prinzip ist folgendes zu tun. Man bestimmt die Bilder der Basisvektoren und bestimmt deren Koordinatenvektoren bezüglich der Bais des Bildraumes. Die Koordinatenvektoren trägt man als Spalten in die Abbildungsmatrix M(f) ein. Also berechne erstmal f(1,2,4) und stelle das in der Basis dar.
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Tut mir leid wegen der Verwirrung. Das war die eine Aufgabe, die ich rechnen kann. Die andere lautet:

Eine lineare Abbildung f:IR^4 -> IR^3 sei für x aus IR^4 definiert durch f(x)=Ax, wobei

ist. Geben sie eine Basis von Bild und Kern der Abbildung f an.

Ich wollte nur wissen ob es sich da jetzt auch um eine Darstellungsmatrix handelt, weil wir diese immer nur in Bezug auf den anderen Aufgabentypen erwähnt haben.

Ich weiss nämlich nicht wie man jetzt eine Basis je von Bild und Kern angeben kann... Hilfe
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von LOED
die bilder noch evtl. linear unabhängig machen.... (um eine basis zu erhalten!)

das ist nicht nötig, unter Umständen auch nicht machbar.


öhm, wieso soll das nicht machbar sein?
eine lineare abbildung ist durch die bilder der basis festgelegt (Basis {b1,...,bn} eines vektorraums V, v aus V, dann v=a1*b1+a2*b2*...+an*bn, f(v)=f(a1*b1+a2*b2*...+an*bn) dann kann das dank der linearität von f auseinandergezogen werden und die skalare nach vorne geholt...).
also sind die bilder der basisvektoren ein erzeugendensystem vom bild(V).
und wieso sollte man ein erzeugendensystem nicht zu einer basis minimieren können?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED: vergiß, was ich geschrieben habe. Habe nicht gemerkt, dass das eine andere Aufgabe ist. Nach so einem Karnevalswochenende muß ich einfach genauer hinschauen. Augenzwinkern
@pelzor: so vorgehen, wie LOED geschrieben hat.
Die Matrix A mit Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform umformen. Dann kann man die Basis des Kerns quasi ablesen. Schreib mal die umgeformte Matrix hin.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nach so einem Karnevalswochenende muß ich einfach genauer hinschauen.

ach so, na dann: helau! Prost (oder alaaf, oder was auch immer ihr ruft!)


@pelzor: wenn du mit dem ablesen probleme hast und dir der -1-trick nix sagt, dann kannst auch mal da guggen...
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=12514

mfg jochen
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab sie umgeformt:

Ich seh daraus jetzt den Rang 2. Und wenn ich LOED richtig verstanden hab ist der Kern dann .
Oder muss ich auf der "Diagonalen" erst überall 1 stehen haben?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ohoh, er kern ist ein teilraum deines urbildraumes, also von IR^4....
deine vektoren so können also nicht stimmen (das ist ein teilraum von IR^3!).

also du musst das so weit wie möglich auf treppe bringen, d.h. also hier noch die diagonalelemente müssen 1 sein!
danach erst um eine nullzeile unten erweitern um quadratische form zu erhalten! und dann die diagonalnuller durch -1 ersetzen und ablesen!

ob deine umformung richtig war, kannst du dann nachprüfen, indem du einfach mal deine erhaltenen vektoren einzeln auf die matrix oben anwendest!
es muss dann jeweils der nullvektor (des IR³) rauskommen!

mfg jochen
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

hmm jetzt ist mein Kern .
Auf die Matrix anwenden, meinst du damit multiplizieren?
Dann muss ich mich nämlich verrechnet haben... unglücklich
denn .

Oder muss hier dann auch a=0 sein?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Auf die Matrix anwenden, meinst du damit multiplizieren?

ja, es muss für einen vektor v im kern bzgl. einer abbildung f doch gelten:
f(v)=0 (definition vom kern!), f(v) ist hier A*v, also muss für einen kernvektor v gelten: A*v=0

also noch mal nachrechnen, werde auch mal fehler suchen....


edit: Hammer klar über und unter den 1ern müssen natürlich nullöer stehen!
also insbesondere muss über der 2. 1 noch eine 0 hin!
aber anfang stimmt!


edit: ja, a muss vorher 0 werden richtig erkannt! treppenform wiederholen!
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Jau cool! Hat geklappt!
Ne Menge blöde Brüche aber es stimmt.
Linear unabhänig müssten sie ja dann auch immer sein!

Und man kann auch das Gleichungssystem A*v=0 lösen und erhält auch seinen Kern! Hab erst gedacht ist ja viel einfacher ... naja ich würd ma sagen bei einer 3x4 Matrix ist der Aufwand ungefähr gleich.

Noch ne Frage:
Für f: IR^4 -> IR^3 ist x aus IR^4 definiert durch f(x)=A*x, mit
.
Kann man das auch schreiben als
?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

jupp genau so kann man das schreiben....
gerade andersrum (von der unteren darstellung die darstellungsmatrix aufstellen) wird's dir begegnen...

poste doch der vollständigkeit halber noch deine lösungen für die kernvektoren.
tipp: du kannst die vektoren auch strecken (am besten faktor: kgV der nenner), und somit die brüche eliminieren....
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das wäre dann

Das muss einfach richtig sein ich hab ja beide Wege gerechnet, das selbe Ergebnis raus und sogar die Probe stimmt! Rock

Vielen Dank!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das sind aber nicht nur diese beiden vektoren, sondern viel mehr.
nämlich das ganzen erzeugnis dieser beiden!
also:

mfg jochen
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt ich wollte ja die Basis des Kerns! Das hab ich schon wieder ganz vergessen... smile Mit den Schrebweisen hab ichs eh noch nich so.
Die <...> sagen, dass es ne Basis sein soll?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ne, da reden wir aneinander vorbei....

"basis vom kern" ={vektor1, vektor2} so isses richtig.
aber "kern"="erzeugnis seiner basis"=<vektor1, vektor2>

{....} menge von vektoren, die da drin stehen
<...> menge aller vektoren, die sich aus den vektoren, die da drin stehen linearkombinieren lassen.....

klar oder jetzt ganz verwirrt?
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

janö die Schreibweise war nur unklar... die verwirrt mich auch immernoch. In unserm Skribt steht wieder alles ganz anders! Hammer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

eventuell kennst du das erzeugnis <...> auch als [......] oder LH{.....} (lineare hülle).
wie gesagt besagt alles das gleiche......
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wusste nie was die lineare Hülle ist! Ist das einfach nur das Erzeugnis von Basisvektoren, oder gilt nur bei den Basisvektoren des Kerns?
AndyRo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo pelzor,

lernst du etwa für die Klausur "Mathe für Physiker" bei Prof. H. Müller??

Wenn ja, dann kannst du dir die Lösungen zu den Aufgaben die du hier gestellt hast auch auf seiner Homepage nachschauen, da das ja Übungsaufgaben von den Übungsblättern unseres Semesters waren (Blatt 6 und 7):

http://www.math.uni-hamburg.de/home/mueller/WiSe0405.html

MfG: AndyRo
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Ja weiss ich, aber meistens verwirren mich die Musterlösungen von Herrn Müller bloss noch mehr... Ausserdem hab ich hier noch ne Aufgabe von einer älteren Klausur.
(kennst du den: http://studium.kewis.ch/ da sind auch die Physik Musterlösungen)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich wusste nie was die lineare Hülle ist!

sei V K-Vektorraum
seien daraus x1,x2,...,xn vektoren, die nicht unbedingt linear unabhängig sein müssen

dann ist LH{x1,...,xn}=[x1,...,xn]=<x1,...,xn>={ a1*x1+a2*x2+...+an*xn | a1,a2,...,an aus K]
also die menge aller vektoren, die sich aus x1,...,xn linearkombinieren lassen.
das ist in diesem falle sicher ein teilraum von V, wenn {x1,...,xn} ein erzeugendensystem von V sind, dann ist es sogar V selbst.

was genau verstehst du daran nicht?

konkretes beispiel: im IR³


mfg jochen
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist mir das klar. Ich wusste nur nicht wann man was eine lineare Hülle nennt! Freude
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

sehr schön....

ich würde das auch gar nicht so nennen... erzeugnis ist ein viel schöneres wort...
kannst auch mal wikipedia fragen Augenzwinkern

also dann, fall gelöst!
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