Integration mit Substitution [war: Partielle Integration]

11.07.2007, 01:00

Michi131

Integration mit Substitution [war: Partielle Integration]

Hallo,
hab hier eine Aufgabe und dreh mich grade nur im Kreis.

Integriert werden soll

$\begin{eqnarray*} \int~ \sqrt{x^2+1}\cdot x ~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe für
$\begin{eqnarray*} u=x, v'=\sqrt{x^2+1}, u'=1, v=\frac{1}{3x}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
gewählt.

Dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} x\cdot \frac{1}{3x}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}-\int~ \frac{1}{3x}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt dreh ich mich ja im Kreis, wenn ich wieder mit partieller Integration anfange bekomme ich das Hilfsintegral trotzdem nicht weg verwirrt

Die Lösung ist gegeben, sie lautet $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\sqrt{x^2+1}+C \end{eqnarray*}$

Gruß,
Michi

11.07.2007, 01:07

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

die lösung ist aber falsch.

denn wenn man deine lösung ableitet erhält man:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

durch integration durch substitution komme ich auf folgende lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

11.07.2007, 01:13

Michi131

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, stimmt, die lösung ist unlogisch.
was hast du denn dann substituiert?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1}=z \end{eqnarray*}$

Und dann weiter???

11.07.2007, 01:15

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe $\begin{eqnarray*} z = x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ substituiert.

man erhält dann ein sehr einfaches integral.

11.07.2007, 01:50

Michi131

Auf diesen Beitrag antworten »

wie kriegst du das andere x dann da raus? sonst hab ich ja 2 variablen

11.07.2007, 08:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Substitution $\begin{eqnarray*} z = x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ mußt du die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$ berechnen, das nach dz umstellen und dann im Integral schauen, wo du da den Teil findest, der dem dz entspricht. Hilfreich ist auch, das Integral etwas umzuformen:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{x^2+1}\cdot x~dx = 0,5 \cdot \int~\sqrt{x^2+1}\cdot 2x~dx \end{eqnarray*}$

11.07.2007, 11:22

Michi131

Auf diesen Beitrag antworten »

ah, das klingt logisch :-)

Das wäre dann also $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = 2x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{dz}{2x} = dx \end{eqnarray*}$

Eingesetzt ist das dann $\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{z}\cdot2x ~\frac{dz}{2x} \end{eqnarray*}$

Endergebnis wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Zurück eingesetzt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}({x^2+1})^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Und das steht weder auf meinem lösungsblatt noch hat tmo dasselbe raus :-(

11.07.2007, 12:18

irieill

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
die lösung ist aber falsch.

das ist korrekt. smile

also daß die angebliche lösung falsch ist...

Zitat:

Original von tmo
durch integration durch substitution komme ich auf folgende lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

das ist ebenfalls korrekt. das ist die lösung.

lösungsweg hab ich jetz keinen - hab einfach in die formelsammlung (papula S.452 formel (190)) geschaut und da steht ne fertige formel für das obige integral.

11.07.2007, 12:46

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum beachtest du nicht diesen inweis von klarsoweit! Wenn du das gemacht hättest, dann wäre das Lösen nur noch stumpfes "einsetzen" und hinschreiben!

Zitat:

Original von klarsoweit
Hilfreich ist auch, das Integral etwas umzuformen:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{x^2+1}\cdot x~dx = 0,5 \cdot \int~\sqrt{x^2+1}\cdot 2x~dx \end{eqnarray*}$

11.07.2007, 12:56

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

@derkoch

Ich denke, er hat es gemacht, lediglich noch den Faktor 0,5 vorm Integral vergessen. Kann das sein?
Ist irgendwie für mich grade leicht unübersichtlich Big Laugh

air

11.07.2007, 12:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Michi131
Zurück eingesetzt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}({x^2+1})^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Und das steht weder auf meinem lösungsblatt noch hat tmo dasselbe raus :-(

Du hast den aus dem Integral rausgezogenen Faktor 0,5 unterschlagen. unglücklich

11.07.2007, 14:28

Michi131

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt ich hab den faktor vergessen :-)

also wäre die Lösung dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} (x^2+1)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt???

Gruß

11.07.2007, 14:31

Michi131

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} +C \end{eqnarray*}$ natürlich ;-)

11.07.2007, 14:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »