Beispiel bezüglich Matrizen

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Austi Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel bezüglich Matrizen
Hallo nochmal!!!

Also hier http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=12856

habt ihr mir super veranschaulicht, worum es sich bei Matrizen handelt und wie man mit ihnen rechnen kann

Aber mal ein Beispiel: Angenommen wir haben folgendes gegeben:



Was kommt da dann für die Fragezeichen hin und wie wurde es gerechnet??

Lieben Dank für jeden Post!

MfG
Austi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

na, die einheitsmatrix (rechts) ist das neutrale der matrizenmultiplikation...
also muss anstelle der ?-matrix das inverse zur linken matrix hin.
denn A*A^-1=I für alle invertierbaren matrizen A.

weißt du, wie man das inverse berechnet?
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
Umweg
Zitat:
Original von LOED
weißt du, wie man das inverse berechnet?

Falls nein, bleibt Dir noch der Weg über ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten und vier Gleichungen. Aber lass Dir lieber von LOED ein Tip geben, geht imho schneller Augenzwinkern

Edit: Bei ohja bei 4x4 MAtrizen haben wir dann ja ein LGS mit 16 Unbekannten... dat wird ein Spaß Hammer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Falls nein, bleibt Dir noch der Weg über ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten und vier Gleichungen.

und dann das ganze bei einer 3x3matrix.... Augenzwinkern
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
weißt du, wie man das inverse berechnet?


hallo loed!

nein, das weiß ich leider nicht... kannst du mir das denn zeigen und sagen wie das geht??

MfG
Austi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich werde dir das verfahren mal erklären, mal schauen, ob du es verstehst...
ist prinzipiell nicht schwer zu verstehen....


wir wissen: A*A^-1=I, gesucht ist dabei A^-1.....
also formen wir mit hilfe des gaussalgorithums A zu I um. beim gaussalgorithmus multiplizieren wir ja immer invertierbare matrizen an die andere dran (ich glaube diese werden elementarmatrizen genannt, das sind matrizen, die zeilen vertauschen, vielfache von einer zeile auf eine andere zeile addieren, zeilen mit einem skalar multiplizieren... lies mal im skript beim lösen von LGSen nach....).
diese elementarmatrizen nenne ich mal C1,C2,...,Cn

am ende haben wir I da stehen.....
also muss gelten: A*C1*C2*...*Cn=I
matrizenmultiplikation ist assoziativ, d.h. du darfst klammern setzen!
also A*(C1*C2*...*Cn)=I und du siehst hier sofort, C1*C2*...*Cn muss dein gesuchtes A^-1 sein.....
also verwenden wir folgenden trick: während wir A zu I umformen, protokollieren wir die elementarmatrizen an der einheitsmatrix mit (das heißt wir wenden der reihe nach die gleichen matrizen, die wir auf A anwenden auch auf I an)
am ende steht dann dort wo vorher I stand: I*C1*C2*...*Cn=A^-1!

verstehst du das und kannst dus anwenden?
ansonsten frag noch mal nach was dir unklar ist, dann will ichs mal an den stellen genauer erläutern!

mfg jochen
 
 
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich verstehe das leider nicht so wirklich... Ich muss Dir ganz ehrlich sagen... da ich noch zwei Bücher lesen muss, wäre ich nicht grade abgeneigt, wenn du mir das kurz anhand meines oben genannten Beispiels aufzeichnen könntest! Wäre echt super lieb von Dir... wenn nicht, dann ist das natürlcih auch ok - schließlich ist das ja hier ein board zur selbsthilfe!

Aber wenn du es doch machen würdest, wäre das wirklich klasse! smile

MfG
Austi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich machs an einem anderen beispiel... (auch 2x2, geht auch für andere quadratscihe matrizen, die invertierbar sind)

links meine zu invertierende matrix, rechts die einheitsmatrix....
ich mache links zur einheitsmatrix und protokolliere die schritte an der einheitsmatrix mit....



ich beginne gauss: erste zeile auf zweite zeile addieren



weiter mit dem gauss, zweite zeile auf erste zeile addieren...



weiter gauss: 2 . zeile /(-2) nehmen




edit: ausverehen abgeschickt, statt vorschau geklickt...
rechts steht jetzt das inverse zum linken.....
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Toll, wie du das machst... danke für deine mühe, die du dir machst!!!

ich habe das jetzt grade aber mal mit 4 Gleichungen gelöst:



ist das denn erstmal richtig?? falls ja, würde ich das danach nochmal gerne mit deiner methode probieren smile

MfG
Austi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja sieht doch gut aus (kannst du ja auch selbst nachrechnen, einfach die matrizenmultiplikation rechts)

mein verfahren hat den vorteil, dass es auch für 3x3, 4x4,.... nxn matrizen (relativ) schnell geht, währned dein verfahren schon bei 3x3 matrizen auf 9(!) gleichungen rausläuft!
also nochmal ran!
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja super... ja da hst du recht, deshalb möchte ich deine variante ja auch verstehen!!! Ich verwende jetzt mal genau deine wortwahl... habe folgendes anhand deiner ausführungen zu papier gebracht:

links meine zu invertierende matrix, rechts die einheitsmatrix....
ich mache links zur einheitsmatrix und protokolliere die schritte an der einheitsmatrix mit....



ich beginne gauss: erste zeile auf zweite zeile addieren



weiter mit dem gauss, zweite zeile auf erste zeile addieren...



weiter gauss: 2 . zeile /(-2) nehmen



zunächst... ist das so richitg?? und was sagt mir das dann?? blicke da grade nicht so durch!!

MfG
Austi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ohje, ne, weißt du wie gaussalgorithmus geht? scheinbar nicht!
du musst die entsprechenden schritt machen, die zu deiner matrix passen, nicht einfach die, die zu meiner gepasst haben......

also ich erklärs dir mal den gauss....
ziel: einheitsmatrix, d.h. auf der diagonale 1er sonst nuller.
[edit: bei meinem beispiel oben: dafür versuche ich zunächst oben die erste 1 zu erzeugen (die ist ja freundlicherweise schon da!) und darunter nur nuller.]

also sei meine erste spalte irgendwie so (rest mal mit a,b,c...)

2 a b
-2 c d
-3 e f

dann addiere ich die erste zeile auf die 2, um da eine null zu kriegen....
addiere das 1,5fache der ersten zeile auf die 3. um auch dort eine null zu kriegen......

dann sieht der anfang so aus (3x3-matrix)
2 a b
0 c+a d+b
0 e+1,5a f+1,5b (etwas unübesichtlich deshalb nochmal aufschreiben)

nun noch die erste zeile durch 2 teilen....
1 a/2 b/2
0 c+a d+b
0 e+1,5a f+1,5b

und deine erste spalte ist fertig...
jetzt versuchst du mit genau dem gleichen algorithmus im 2. diagonalfeld (da wo grad c+a steht) eine 1 mit drüber und drunter nur nullern zu erzeugen....

wenn du das auch gemacht hast, dann machst du selbiges noch mti dem 3. diagonalfeld....

du kennst das unter bringen auf vollständige treppenform aus der schule, oder?

mfg jochen


edit: " zu 2 umgewandelt
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Also LOED... wie oben schon mal erwähnt: ich finde das echt super lieb von dir, wie viel mühe du dir gibt... aber: also ich verstehe das in der tat nicht so. vielleicht würde ich es verstehen, wenn du versuchst, es mir an meinem Beispiel aufzuzeigen!!
Ansonsten sehe ich da im Moment echt leider schwarz ... smile leider

MfG
Austi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »


erster schritt: unter der markierten 1 (oben links, mit *chen markiert) nuller erzeugen (in der ganzen ersten spalte), da nur 2x2 matrixm ist nur in einer zeile eine null zu machen (in der 2. zeile)
also addieren wir die erste zeile 2* auf die 2. zeile addieren.

das gibt dann sowas:

jetzt wird die 8 (markiert) zum neuen diagonalelement über und unter dem nur nuller stehen dürfen....
der einfachheit halber erst /8 ergibt dann

nun musst du die zweite zeile -2 mal auf die erste addieren (um über unserer 1 eine 0 zu erzeugen) und so fährst du links fort, bis links die einheitsmatrix steht.

jetzt okay?
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön für die Ausführungen... Also im Moment habe ich da keinen Durchblick, das sage ich ganz ehrlich. Allerdings liegt das nicht an dir, sondern an mir... Ich kann mich darauf heute nicht konzentrieren (Erkältung) Bin jetzt erstmal froh, dass ich das Ganze anhand der 4 Gleichungen lösen konnte!
Ich schaue da mal die Tage drüber, vielleicht behandeln wir deine variante ja auch im unterricht... smile
Auf jeden Fall ganz, ganz herzlichen Dank, ich schaue da wie gesagt bald mal drüber und versuche es nachzuvollziehen!

MfG
Austi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich kann mich darauf heute nicht konzentrieren (Erkältung)

geschockt na dann gute besserung!
und ich denke, wenn's dir wieder besser geht, dann verstehst du das Augenzwinkern
zur not pauken wir noch ein paar beispiel durch......
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

ja, dankeschön... Nettes Angebot mit dem beispiel!! smile
ich poste auf jeden fall morgen oder übermorgen oder so, ob ichs verstanden habe... dann schon einmal gute nacht!!

MfG
Austi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

gute Nacht!
Schläfer
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

In Ordnung, LOED!

Wollte kurz Bescheid geben, dass ich es verstanden habe. smile

Gruß
Austi
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