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07.02.2005, 20:43	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe Dgl Hi @ all, hab ein riesen Problem. Ich hab keine Ahnung von DGL und wir sollen folgende lösen: y'=1-y^2 ich hab zwar schon viel probiert doch ich kam immer auf einen riesen scheiß der zu nichts mehr geführt hat. könnt ihr mir vielleicht helfen sowas zu verstehen und diese aufgabe zu erledigen??? THX!
07.02.2005, 20:49	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier kannst du einfach das Verfahren der Trennung der Veränderlichen/Variablen: $\begin{eqnarray} y' = 1-y^2 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} y' = \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \end{eqnarray}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = 1-y^2 \end{eqnarray}$ jetzt trennst du einfach noch die Variablen und integrierst.
07.02.2005, 20:51	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
und das heißt jetzt dass ich y² rüber ziehe und dann integriere und dann fertig?
07.02.2005, 20:52	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist bisschen Algebra: Du musst durch ( $\begin{eqnarray} 1 - y^2 \end{eqnarray}$ ) teilen, da es ja eine Summe ist. Aber erstmal mal $\begin{eqnarray} \mathrm dx \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = 1-y^2 \|\cdot \mathrm dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathrm dy = \left(1-y^2\right)\mathrm dx \end{eqnarray}$ immer schön die Klammern setzen .
07.02.2005, 20:55	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich nicht einfach +y² rechnen?? wenn nein wie ist dann die lösung davon?
07.02.2005, 21:00	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bringt dir aber nicht viel. Du kommst dann auf: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} + y^2 = 1 \end{eqnarray}$ Du willst ja aber beide Variablen jeweils getrennt auf eine Seite .
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07.02.2005, 21:04	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, dann hab ich jetzt dy/(1-y²) = dx jetzt integrieren dann hab ich also int (1/(1-y²))*dy = int dx
07.02.2005, 21:07	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so
07.02.2005, 21:09	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
aber das kann doch nicht das ganze ergebnis sein??? das sieht bei unserem lehrer immer ohne diese integrationszeichen aus, was muss ich da jetzt machen oder ist das einfach so??
07.02.2005, 21:10	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst jetzt auf beiden Seiten integrieren und nach y auflösen. Das ist dann die allgemeine Lösung der DGL (Integrationskonstanten nicht vergessen).
07.02.2005, 21:14	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
und das ist dann jetzt ln (1+y)/(1-y)=??? ka wie geht das denn jetzt genau weiter.....
07.02.2005, 21:18	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeig bitte erstmal die ganze Gleichung die du nach dem Integrieren erhälst .
07.02.2005, 21:20	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
naja eigentlich dachte ich dass beim integrieren der linken seite das da rauskommt, was ja jetzt nicht mehr wirklich so ist.... wie soll denn die integrierte form aussehen??
07.02.2005, 21:22	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral stimmt fast. Wir integrieren auf beiden Seiten: $\begin{eqnarray} \int\frac{\mathrm dy}{1-y^2} = \int\mathrm dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + y}{1 - y}\right) = x + C \end{eqnarray}$
07.02.2005, 21:26	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
achso und jetzt kommt die geschichte mit dem e dran oder?? dann hab ich 1/2 * (1+y)/(1-y)=k*e^x
07.02.2005, 21:28	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Die Sache . Dazu rechnen wir aber erstmal $\begin{eqnarray} \cdot 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + y}{1 - y}\right) = x + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ln\left(\frac{1 + y}{1 - y}\right) = 2x + C_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (C_1 = 2C) \end{eqnarray}$ Sonst wird es komplziert und deine Zeile würde auch nicht stimmen. $\begin{eqnarray} \frac{1 + y}{1 - y} = \mathrm e^{2x + C_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1 + y}{1 - y} = C_2\mathrm e^{2x}; C_1 = \mathrm e^{C_1} \end{eqnarray}$ (Du kannst das es gerne auch k nennen .)
07.02.2005, 21:33	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du jetzt in der letzten Zeile gemacht?? Kannste mir den Schritt mal kurz erklären
07.02.2005, 21:35	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Potenzgesetzten gilt $\begin{eqnarray} \mathrm e^{a + b} = \mathrm e^a\cdot \mathrm e^b \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \frac{1 + y}{1 - y} = \mathrm e^{2x + C_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1 + y}{1 - y} = \mathrm e^{2x}\cdot \mathrm e^{C_1} \end{eqnarray}$ Nun setzte ich noch $\begin{eqnarray} C_2 = \mathrm e^{C_1} \end{eqnarray}$ zur Vereinfachung: $\begin{eqnarray} \frac{1 + y}{1 - y} = C_2\mathrm e^{2x}; C_2 = \mathrm e^{C_1} \end{eqnarray}$
07.02.2005, 21:38	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, hab die ":" falsch gedeutet... dachte jetzt : C... rechnen... und jetzt muss ich was genau mit den y machen weil die will ich ja alleine auf einer seite oder??
07.02.2005, 21:43	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist ein Semikolon, das wird etwas schlecht dargestellt... Ja. Erstmal kannst du $\begin{eqnarray} u = C_2\mathrm e^{2x} \end{eqnarray}$ zur Vereinfachung setzen und musst danach etwas umformen nach y. Zu Erst natürlich mal $\begin{eqnarray} (1 - y) \end{eqnarray}$ . Probier's erstmal allein.
07.02.2005, 21:49	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich da etwa wieder einmal mit u=... und u'=... arbeiten??
07.02.2005, 21:50	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Das ist nur zur Vereinfachung bei der Termumformung (das man nicht bei jedem Schritt $\begin{eqnarray} C_2\mathrm e^{2x} \end{eqnarray}$ schreiben muss) keine Funktion ö.Ä. Du musst das nicht machen, ich glaube das bringt dich nur durcheinander.
07.02.2005, 22:03	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
naja das bin ich jetzt schon total... also ich will auf einer seite nur y stehen haben. ist doch richtig? so dann mach ich (1-y) dann setz ich das zeug als "u" dann hab ich da "1u"-"y*u" so aber jetzt hab ich gar keine ahnung mehr egal was ich jetzt machen würde.. entweder hab ich auf der einen seite auch u bzw den therm wenn ich yu rüber bring oder sonst was...
07.02.2005, 22:06	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
noch bisschen weiter umformen: $\begin{eqnarray} \frac{1 + y}{1 - y} = C_2\mathrm e^{2x} \end{eqnarray}$ wir setzen zur Vereinfachung: $\begin{eqnarray} u = C_2\mathrm e^{2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1 + y}{1 - y} = u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + y = u - uy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} uy + y = u - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(u + 1) = u - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \frac{u - 1}{u + 1} \end{eqnarray}$ resubstituieren: $\begin{eqnarray} y = \frac{C_2\mathrm e^{2x} - 1}{C_2\mathrm e^{2x} + 1} \end{eqnarray}$ fertig .
07.02.2005, 22:11	Fuffi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, hab meinen fehler entdeckt! is wohl zu spät zum normal denken .... hab ned +uy sondern *uy gemacht.... der rest ist ja wie immer gewesen danke nochma
07.02.2005, 22:13	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Bidde schön .

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