Gleichungssystem,Matrix konstruieren

12.07.2007, 13:12

meli05

Gleichungssystem,Matrix konstruieren

ich habe folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix} ,~\vec{b} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a)bestimmen sie den allgemeinen ausdruck für $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ in der Beziehung $\begin{eqnarray*} A\vec{x}=\vec{b} \end{eqnarray*}$

ist das einfach so gemeint:??

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gut man kann sehen, dass die vektoren l.a. sind d.h. ich kann nicht invertieren.

jetzt kommts aber was ich nicht verstehe und zwar soll ich jetzt anhand eines homogenen und inhomogenen fall und der Beziehung:
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=B\cdot\vec{b} \end{eqnarray*}$
die Matrizen B konstruieren die den Vektor b in den Vektor x überführen?

was heißt das denn genau? aus b wird x oder wie?

muss ich dann jetzt einmal für $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und einmal für $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Gleichung nach B umstellen und daraus die Matrix berechnen? Oder wie mach ich das? weil mir nicht ganz klar ist, wie ich die Gleichung nach B umstellen kann unglücklich

lg meli

12.07.2007, 13:36

Mazze

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Zitat:

die Matrizen B konstruieren die den Vektor b in den Vektor x überführen

Das heisst wenn man B auf b anwendet kommt x raus. Da kannste prima eine Gleichungssystem aufstellen.

Zitat:

muss ich dann jetzt einmal für $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und einmal für $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Gleichung nach B umstellen und daraus die Matrix berechnen?

Was homogenes und inhomogenes Gleichungssystem heisst sollte Dir bekannt sein.!

12.07.2007, 14:09

meli05

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soll ich jetzt einfach ein B erfinden?' weil ich hab ja weder x noch B gegeben? nur b unglücklich

ich verstehs nicht unglücklich

ja ich was was das heißt...

homogen

x+y+z=0
x+y+z=0
x+y+z=0

inhomogen z.b.

x+y+z=1
x+y+z=1
x+y+z=1

lg
meli

13.07.2007, 00:16

Mazze

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Du sollst ein b finden, richtig aber es soll in Beziehung zu A stehen!

Das homogene System:

Ax = 0

das inhomogene

Ax = b

beide Systeme sind in diesem Fall hier lösbar (was für das nichtinvertierbare inhomogene nicht immer der Fall ist) und schau Dir mal die Lösungsvektoren an!

14.07.2007, 19:01

meli05

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hm ich soll ja Matrizen B finden?!

also wenn ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 &|0 \\ -1 & 3 & 2 &|0 \\ 1 & -1 & 4 &|0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

löse erhalte ich den Vektor:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =a\begin{pmatrix} -7 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bei dem Fall:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 &|2 \\ -1 & 3 & 2 &|3 \\ 1 & -1 & 4 &|7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bekomme ich keine eindeutige lösung?

und nun?

kann ich so B rausfinden? :

$\begin{eqnarray*} B =a\begin{pmatrix} -7 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber dann hab ich ja die doofe variable a drinne?! verwirrt

mfg
meli

14.07.2007, 19:09

WebFritzi

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Das, was du da auf der rechten Seite stehen hast, macht überhaupt keine Sinn.

14.07.2007, 19:26

meli05

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hab ich mir fast gedacht, ich dachte eben ich kann so meine Elemente der Matrix rausbekommen :-(

mhh wie kann ich das denn dann machen? ich versteh das nicht traurig

lgmeli

15.07.2007, 13:28

Mazze

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also der Lösungsvektor des inhomogenen Systems ist richtig und der des inhomogenen ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 - 7b \\ 5 - 3b \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder allgemeiner mit Hilfe der homogenen Lösung:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -7a \\ -3a \\ a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 - 7b_0 \\ 5 - 3b_0 \\ b_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es soll jetzt also

$\begin{eqnarray*} B \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7a \\ -3a \\ a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 - 7b_0 \\ 5 - 3b_0 \\ b_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sein, oder anders:

$\begin{eqnarray*} B \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 - 7(a + b_0) \\ 5 - 3(a+b_0) \\ a + b_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist ein LGS mit 9 unbekannten allerdings nur 3 Gleichungen, daher hast Du 6 Freiheitsgrade was die Matrix B angeht, entsprechend viele Matrizen die das obige Leisten. Das b_0 kannst Du Dir wie üblich beliebig aber fest wählen.

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